扔玻璃球 [ Google面试题 ]

这是一道 Google 面试题，考察的是对于粗调和精调工程思维

对于扔玻璃球国内也叫扔鸡蛋。

ta不用您有什么基础，只需要一个基本工程思维。

粗调和精调，这个已是统计学里最优法，所以不用担心复杂度，精力应放在怎么设计更好的粗调和精调方法，以减少次数。

那么，什么是 粗调和精调 呢？？

机械加工可能需要调一个非常精准的数字如 20.0008 的值。

这个机械加工难度如拿望远镜，要调到 20.0008精度。

第一个是粗调，您得大致对准20，第二个是精调，您能对准00008【手术机器人的精度控制同理】。

本质：设计各种粗调和精调的方法。

一大波思维修炼来袭：

给你两个一模一样的玻璃球。这两个球如果从一定高度掉到地上就会摔碎，当然，如果在这个高度以下往下扔，怎么都不会碎，超过这个高度肯定就一次摔碎了。
现在已知这个恰巧摔碎的高度范围在1层楼到100层楼之间。如何用最少的试验次数，用这两个玻璃球测试出玻璃球恰好摔碎的楼高。

为了便于你理解这道题，我不妨讲两个具体的策略。

第一个策略：是从第一层楼开始，一层一层往上试验。你拿着球跑到第一层，一摔，没有碎，接下来你又跑到第二层去试，也没有摔碎。你一层层试下去，比如说到了第59层摔碎了，那么你就知道它摔碎的高度是59层。这个策略能保证你获得成功，但显然不是很有效。

第二个策略：是预测一下，试一试，你跑到30层楼一试，没有碎，再跑到80层楼一试，碎了。虽然你把摔碎高度的范围从1-100减小到30-80，但接下来你就犯难了，因为你就剩一个球了，再这样凭感觉做试验，可能两个球都摔碎了，也测不出想知道的高度。

这道题好的方法是什么呢？

俩个球，一个用来做粗调，一个用来做精调，具体做法是以下这样的。

一种符号正常思维的粗调设计方法是：

为了认第一个球和第二个球尝试次数尽可能均衡，做运算，100的平方根是10。

我们次数每 10 层扔一个玻璃球[10,20,...,90,100],

第 9 个时，次数是 1(第10层) + 9(第9个) = 18

最坏的次数是 10(第100层) + 9(第99个) = 19

想想，还可以减少嘛～进Google可不容易哦。

可以指出，这里的起始层可以是第15层，依然每10层叠[15,25,...,85,95],

第14个时，次数是 1(第15层) + 14(第14个) = 14

最坏的次数是 9(第100层) + 9(第99个) = 18

想想，还可以减少嘛～进Google可不容易哦

为了设计更好的粗调和精调算法，我们可以反过来想。

假设最优尝试次数是 n 次，那么我们就从 n 层开始扔。

if ( 第一个鸡蛋碎了 ){ // 尝试次数为 n , 第 n 层扔

第二个鸡蛋从第1层开始，一层一层尝试，至 n - 1 层。( n - 1 ) + 1 = n, 满足最优次数

}else{ // 尝试次数为 n - 1 ，第 n + (n - 1) 层扔

楼层变成 100 - n 层 , 因为总·尝试次数 = n - 1 ，所以扔的绝对楼层是 n + ( n - 1 ) 层

同理得，如果接着扔玻璃球没碎，总·尝试次数 = n - 2 , n - 3 , ... ;

列出方程： x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 = 100

方程左边 x + (x-1) + ... + 1 尝试 x 次即为 x 项，右边 100 即总的楼层数。

这是一个等差数列，可以转化为 (x + 1) * x / 2 = 100

下面给出证明过程：

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ①

依据此式 ① ，可分成俩个方程

Sn = a1 + (a2+d) + (a3+2d) + ... + an+(n-1)d

Sn = an + (an-d) + (an-2d) + ... + an-(n-1)d

相加解得： Sn = x·(a1+an) / 2 等同 (x + 1) * x / 2 = 100，公差d = 1, a1 = x, an = 1, Sn = 100;

(x + 1) * x / 2 = 100 解得 x = 14; ( x 向上取整 )

所以，最优解的最坏情况的尝试次数是 14 次，第一次扔玻璃球的楼层也是 14 层。

14， 27， 39， 50， 60， 69， 77， 84， 90， 95， 99， 100

okok, 举个例子～

假设玻璃球不会碎的临界点是 98 层，于是扔玻璃球的过程：

1: 14

2: 27

3: 39

4: 50

5: 60

6: 69

7: 77

8: 84

9：90

a: 95

b: 96

c: 97

d: 98

一共 14 次，等于假设的最优解的最坏次数，测试多次后，发现恒成立。

想想，还可以减少嘛～进Google可不容易哦。

想一想，给你三个玻璃球，你咋分？？？

利用好 粗调和精调 的工程思维。

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