矩阵分析：特征值界估计，Hermite特征值，广义特征值

1，特征值界的估计

设 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ， $y\in \mathbb{C}^n$ 满足 $||y||_2=1$ ，则 $|y^HAy|\leqslant ||A||_{m_\infty }$ 。

【证明】设 $A=(a_{ij})_{n\times n},y=(\eta_1,\eta_2,...,\eta_n)^T$ ，则：

$|y^HAy|=\left | \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}\overline{\eta_i}\eta_j \right |\leqslant \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|a_{ij}||\eta_i||\eta_j|$

$\leqslant \underset{i,j}{max}|a_{ij}|\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|\eta_i||\eta_j|$

$\leqslant \underset{i,j}{max}|a_{ij}|\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{|\eta_i|^2+|\eta_j|^2}{2}$

$=n \underset{i,j}{max}|a_{ij}|=||A||_{m_\infty }$

设 $A\in \mathbb{C}^{n\times n},B=\frac{1}{2}(A+A^H),C=\frac{1}{2}(A-A^H)$ ，则 $A$ 的任一特征值 $\lambda$ 满足：

$|\lambda|\leqslant ||A||_{m_\infty },|Re(\lambda)|\leqslant ||B||_{m_\infty },|Im(\lambda)|\leqslant ||C||_{m_\infty }$

【证明】假设 $x=(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)^T$ 满足 $Ax=\lambda x,||x||_2=1$ ，则：

$\lambda=x^HAx$ ， $\bar{\lambda}=(x^HAx)^H=x^HA^Hx$

（1） $|\lambda|=|x^HAx|\leqslant ||A||_{m_\infty }$

（2） $|Re(\lambda)|=\left | \frac{1}{2}(\lambda+\bar{\lambda}) \right |=\left | \frac{1}{2}x^H(A+A^H)x \right |=|x^HBx|\leqslant ||B||_{m_\infty }$

（3） $|Im(\lambda)|=\left | \frac{1}{2i}(\lambda-\bar{\lambda}) \right |=\left | \frac{1}{2}x^H(A-A^H)x \right |=|x^HCx|\leqslant ||C||_{m_\infty }$

推论： $Hermite$ （实对称）矩阵的特征值都是实数，反 $Hermite$ （实反对称）矩阵的特征值为 $0$ 或纯虚数。

对任意的实数 $\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$ ，恒有： $\left ( \sum_{k=1}^n\eta_k \right )^2\leqslant n\sum_{k=1}^n\eta_k^2$ 。

设 $A\in \mathbb{R}^{n\times n},C=\frac{1}{2}(A-A^T)$ ，则 $A$ 的任一特征值 $\lambda$ 满足：

$|Im(\lambda)|\leqslant \sqrt{\frac{n-1}{2n}}||C||_{m_\infty }$

【例1】设 $A=\begin{bmatrix} 0 &2 &1 \\ -2& 0 &2 \\ -1& -2 &0 \end{bmatrix}$ ，故计 $A$ 的特征值的界。

因为 $B=\frac{1}{2}(A+A^H)=0,C=\frac{1}{2}(A-A^H)=A$

所以 $||A||_{m_\infty }=6,||B||_{m_\infty }=0,||C||_{m_\infty }=6$

由于 $A$ 的任一特征值 $\lambda$ 满足：

$|\lambda |\leqslant ||A||_{m_\infty },|Re(\lambda) |\leqslant ||B||_{m_\infty },|Im(\lambda) |\leqslant ||C||_{m_\infty }$

故 $|\lambda|\leqslant 6,|Re(\lambda)|\leqslant 0,|Im(\lambda)|\leqslant 6$

故 $|Im(\lambda)|\leqslant \sqrt{\frac{3-1}{2\times 3}}||C||_{m_\infty }=2\sqrt{3}\approx 3.4641$

设 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 的特征值为 $\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n$ ，则

$|\lambda _1|^2+|\lambda _2|^2+...+|\lambda _n|^2\leqslant ||A||_F^2$

且上式等号成立的充分必要条件是 $A$ 为正规矩阵。

证明：由 $Schur$ 定理知，存在酉矩阵 $U$ ，使得 $U^HAU=T$ ，

其中 $T=(t_{ij})_{n\times n}$ 是上三角矩阵，于是：

$\sum_{k=1}^n|\lambda_k|^2=\sum_{k=1}^n|t_{kk}|^2\leqslant ||T||_F^2=||U^HAU||_F^2=||A||_F^2$

上式等号成立的条件是 $A$ 是对角矩阵，即 $A$ 酉相似于对角矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 是正规矩阵。

2，特征值包含区域

2.1，Gershgorin定理

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ ，令 $R_i=\sum_{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|\, \, (i=1,2,...,n)$ ，表示各去心绝对行和，称复平面上的圆域。

$G_i=\left \{ z\in \mathbb{C} ||z-a_{ii}|\leqslant R_i\right \}\, \, (i=1,2,...,n)$

为矩阵 $A$ 的 $i$ 个 $Gerschgorin$ 圆（盖尔圆），称 $R_i$ 为盖尔圆 $G_i$ 的半径。

矩阵 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 的全体特征值都在它的 $n$ 个盖尔圆构成的并集之中。

【例2】估计矩阵 $A=\begin{bmatrix} 2 & -1 &-2 &0 \\ -1& 3& 2i& 0\\ 0 & -i &10 & i\\ -2& 0&0 & 6i \end{bmatrix}$ 的特征值的分布范围。

矩阵 $A$ 的四个行盖尔圆为： $\left\{\begin{matrix} G_1:|z-2|\leqslant 3\\ G_2:|z-3|\leqslant 3\\ G_3:|z-10|\leqslant 2\\ G_4:|z-6i|\leqslant 2 \end{matrix}\right.$

故 $A$ 的 $4$ 个特征值都在 $\bigcup_{i=1}^{4}G_i$ 之中。

矩阵 $A$ 的四个列盖尔圆为 $\left\{\begin{matrix} G'_1:|z-2|\leqslant 3\\ G'_2:|z-3|\leqslant 2\\ G'_3:|z-10|\leqslant 4\\ G'_4:|z-6i|\leqslant 1 \end{matrix}\right.$

故 $A$ 的 $4$ 个特征值都在 $\bigcup_{i=1}^{4}G'_i$ 之中。

上面只能说明 $A$ 的全体特征值都在的 $n$ 个盖尔圆的并集之中，而并没有说明在哪个盖尔圆里有几个特征值。

（1）在矩阵的盖尔圆中，相交在一起的盖尔圆构造的最大连通区域称为一个连通部分，孤立的一个盖尔圆也是一个连通部分。

（2）若矩阵 $A$ 的某个连通部分由 $A$ 的 $k$ 个盖尔圆构成，则该连通部分有且仅有 $A$ 的 $k$ 个特征值（盖尔圆相重时重复计数，特征值相同时也重复计数）。

（3）由两个或两个以上的盖尔圆构成的连通部分，特征值的分布不一定是平均的，既可以在其中的某个盖尔圆中有几个特征值，而在另外的一些盖尔圆中无特征。

【例3】估计矩阵 $A=\begin{bmatrix} 10 &-8 \\ 5 &0 \end{bmatrix}$ 的特征值分布范围。

可求得矩阵 $A$ 的两个盖尔圆。

$G_1:|z-10|\leqslant 8;G_2:|z|\leqslant 5$

容易求得 $A$ 的特征值为： $|\lambda_{1,2}|=\sqrt{40}>5$ ，

所以 $A$ 的两个特征值都不在 $G_2$ 中，都在 $G_1$ 当中。

若 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 按行列严格对角占优，即 $|a_{ij}|>R_i\, \, (i=1,2,...,n)$ ，则 $det A\ne 0$ 。

设 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，且 $A$ 的 $n$ 个盖尔圆都是孤立的，则 $A$ 有 $n$ 个互不相同的实特征值。

2.2，特征值的隔离

应用盖尔圆定理估计矩阵特征值时，往往希望盖尔圆只含有它的一个特征值，当 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 的若干个盖尔圆相交时，通常采用下面两种方法隔离它的特征值。

（1）结合 $A$ 的列盖尔圆研究矩阵 $A$ 的特征值分发情况。

（2）利用相似变换：选定给定的正数 $d_1,d_2,...,d_n$ ，并设对角矩阵 $D=diag(d_1,d_2,...,d_n)$ ，构造与 $A$ 相似的矩阵 $B$ ： $B=DAD^{-1}=(d_ia_{ij}d_j^{-1})_{n\times n}$ 则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值。

适当选取正数 $d_1,d_2,...,d_n$ ，有可能使 $B$ 的每一个盖尔圆包含 $A$ 的一个特征值，选取正数 $d_1,d_2,...,d_n$ 的一般原则是：

（1）欲使 $A$ 的每 $i$ 个盖尔圆缩小，可取 $d_i<1$ ，其余取为 $1$ ，此时 $B$ 的其余盖尔圆适当放大（相对于 $A$ 的同序号的盖尔圆而言）。

（2）反之，欲使 $A$ 的每 $i$ 个盖尔圆放大，可取 $d_i>1$ ，其余取为 $1$ ，此时 $B$ 的其余盖尔圆适当缩小（相对于 $A$ 的同序号的盖尔圆而言）。

PS：主对角线上元素相对的矩阵就不能用上述两种方法分类其特征时。

【例4】应用盖尔圆定理隔离矩阵 $A=\begin{bmatrix} 20 & 3 &2 \\ 2& 10 & 4\\ 4& 1/2 &0 \end{bmatrix}$ 的特征值，并根据实矩阵的特征值的性质改进所得结果。

矩阵 $A$ 的 $3$ 个盖尔圆为：

$G_1:|z-20|\leqslant 5;G_2:|z-10|\leqslant 6;G_3:|z|\leqslant 4.5$

可见 $G_1,G_2,G_3$ 相交，矩阵 $A$ 三个列盖尔圆为：

$G'_1:|z-20|\leqslant 6;G'_2:|z-10|\leqslant 3.5;G'_3:|z|\leqslant 6$

可见 $G'_1,G'_2,G'_3$ 都是孤立的盖尔圆，其中各含 $A$ 的一个特征值。

【例5】应用盖尔圆定理隔离矩阵 $A=\begin{bmatrix} 9 & 1 &1 \\ 1& i& 1\\ 1& 1 &3 \end{bmatrix}$ 的特征值。

矩阵 $A$ 的 $3$ 个盖尔圆为：

$G_1:|z-9|\leqslant 2;G_2:|z-i|\leqslant 2;G_3:|z-3|\leqslant 2$

显然 $G_2,G_3$ 相交，而 $G_1$ 孤立，选取 $D=diag(2,1,1)$ ，则

$B=DAD^{-1}=\begin{bmatrix} 9 & 2 &2 \\ 0.5& i& 1\\ 0.5& 1 &3 \end{bmatrix}$

矩阵 $B$ 的 $3$ 个盖尔圆为：

$G'_1:|z-9|\leqslant 4;G'_2:|z-i|\leqslant 1.5;G'_3:|z-3|\leqslant 1.5$

2.3，Ostrowski定理

设 $A=(a_{ij})_{n\times n},0\leqslant \alpha \leqslant 1$ ，则 $A$ 的全体特征值都在 $n$ 个圆盘（称 $Ostrowski$ 圆）。

$O_i=\left \{ z\in \mathbb{C}||z-a_{ii}|\leqslant R_i^{\alpha }\widetilde{R}_i^{1-\alpha } \right \}\, \, \, (i=1,2,...,n)$

的并集之中，其中：

$R_i=\sum_{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|,\widetilde{R}_i=\sum_{j=1,j\ne i}^n|a_{ji}|\, \, (i=1,2,...,n)$

设 $\tau ,\sigma$ 是任意两个非零非负数书， $0\leqslant \alpha \leqslant 1$ ，则有：

$\tau ^\alpha \sigma ^{1-\alpha }\leqslant \alpha \tau +(1-\alpha )\sigma$

设 $A=(a_{ij})_{n\times n},0\leqslant \alpha \leqslant 1$ ，则 $A$ 的全体特征值都在 $n$ 个圆盘

$\widetilde{O}_i=\left \{ z\in \mathbb{C}||z-a_{ii}|\leqslant \alpha R_i+(1-\alpha )\widetilde{R}_i \right \}\, \, (i=1,2,...,n)$ $\widetilde{O}_1:|z-2|\leqslant \frac{1}{2}\cdot 2.1+\frac{1}{2}\cdot 2=2.05$

的并集之中。

【例6】 $A$ 的三个盖尔圆分别为：

$G_1:|z-2|\leqslant 2.1;G_2:|z-3|\leqslant 2.8;G_3:|z-3|\leqslant 2.2$

从而 $A$ 的特征值在 $G_1,G_2,G_3$ 的并集之中。

又 $A$ 的3个 $Ostrowski$ 圆为（取 $\alpha =1/2$ ）：

$O_1:|z-2|\leqslant \sqrt{2.1}\times \sqrt{2}\approx 2.049$

$O_2:|z-3|\leqslant \sqrt{2.8}\times \sqrt{2.2} \approx 2.48$

$O_3:|z-3|\leqslant \sqrt{2.3}\times \sqrt{3} \approx 2.63$

还可以推出：

$\widetilde{O}_1:|z-2|\leqslant \frac{1}{2}\cdot 2.1+\frac{1}{2}\cdot 2=2.05$

$\widetilde{O}_2:|z-3|\leqslant \frac{1}{2}\cdot 2.8+\frac{1}{2}\cdot 2.2=2.5$

$\widetilde{O}_3:|z-3|\leqslant \frac{1}{2}\cdot 2.3+\frac{1}{2}\cdot 3=2.65$

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}(n\geqslant 2)$ ， $R_i=\sum_{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|\, \, (i=1,2,...,n)$ ，称为复平面上的区域 $\Omega _{ij}=\left \{ z\in \mathbb{C}||z-a_{ii}||z-a_{jj}| \leqslant R_iR_j\right \}\, \, (1\leqslant i<j\leqslant n)$ 为 $A$ 的 $Cassini$ 卵形。

矩阵 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 的全体特征值都在它的 $\frac{1}{2}n(n-1)$ 个 $Cassini$ 卵形构成的并集之中。

$Cassini$ 卵形与盖尔圆比较：

（1）缺点：图形复杂—— $Cassini$ 卵形的几何图形比盖尔圆的几何图形复杂。

（2）优点：区域精确—— $Cassini$ 卵形给出的特征值包含区域比盖尔圆的特征值包含的区域更精确。

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}(n\geqslant 2)$ 按行广义严格对角占优，即 $|a_{ii}||a_{jj}|>R_iR_j\, \, (i<j;i,j=1,2,...,n)$ ，则 $det A\ne 0$ 。

【例6】判断矩阵 $A=\begin{bmatrix} 20 &11 &10 \\ 8& 30 & 30\\ 13 & 15 &30 \end{bmatrix}$ 的可逆性。

$R_1=21,R_2=28,R_3=28$ ，因为

$\left\{\begin{matrix} |a_{11}||a_{22}|=600>588=R_1R_2\\ |a_{11}||a_{33}|=600>588=R_1R_3\\ |a_{22}||a_{33}|=900>784=R_2R_3 \end{matrix}\right.$

所以 $A$ 按行广义严格对角占优，故 $detA\ne0$ ，即 $A$ 可逆。

3，Hermite矩阵特征值的表示

$Hermite$ 矩阵的特征值的一般求法：

设 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 为 $Hermite$ 矩阵，它的特征值都是实数，且从大到小排序为：

$\lambda _1\geqslant \lambda _2\geqslant ...\geqslant \lambda _n$

令 $\Lambda =diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$ ，则存在酉矩阵 $Q$ ，使得

$Q^HAQ=\Lambda$

将 $Q$ 按列分块 $Q=(q_1,q_2,...,q_n)$ ，由上式可得

$Aq_j=\lambda_jq_j\, \, (j=1,2,...,n)$

即 $q_1,q_2,...,q_n$ 是 $A$ 的两两正交的单位特征向量。

设 $A$ 为 $Hermite$ 矩阵，称 $R(x)=\frac{x^HAx}{x^Hx}$ 为矩阵 $A$ 的 $Rayleigh$ 商。

设 $A$ 为 $Hermite$ 矩阵，它的特征值按从大到小的次序排列，则有：

$\lambda_1=\underset{x\ne 0}{max}R(x)$ ， $\lambda_n=\underset{x\ne 0}{min}R(x)$

证明：对于 $0\ne x\in span(q_2,...,q_n)$ ，存在一组数 $c_2,...,c_n$ 使得

$x=c_2q_2+...+c_nq_n\, \, (|c_2|^2+...+|c_n|^2\ne 0)$

$Ax=c_1\lambda_1q_1+...+c_n\lambda_nq_n$

于是

$R(x)=\frac{x^HAx}{x^Hx}=\frac{\lambda_1|c_1|^2+...+\lambda_n|c_n|^2}{|c_1|^2+...+|c_n|^2}$

由此可得 $\lambda_n\leqslant R(x)\leqslant \lambda_1$ ，容易求得。

$Hermite$ 矩阵 $A$ 的最大与最小特征值就是它的 $Reigh$ 商 $R(x)$ 在 $C^n$ 上的最大值与最小值。

如果对应于 $\lambda_1$ 与 $\lambda_n$ 的单位特征向量 $q_1$ 与 $q_n$ 已经求出，那么齐次线性方程组 $q_1^Hx=0$ 与 $q_n^Hx=0$ 解空间能够确定，而且表示为： $span(q_2,q_3,...,q_n)$ 与 $span(q_1,q_2,...,q_{n-1})$ 。

设 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 为 $Hermite$ 矩阵，它的特征值与特征向量：

$\lambda_2=max\left \{ R(x)|x\ne 0,q_1^Hx=0 \right \}=max\left \{ R(x)|0\ne x\in span(q_2,q_3,...,q_n) \right \}$

$\lambda_{n-1}=max\left \{ R(x)|x\ne 0,q_n^Hx=0 \right \}=max\left \{ R(x)|0\ne x\in span(q_1,q_2,...,q_{n-1}) \right \}$

如果对应于 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_{s-1}$ 与 $\lambda_{r+1},\lambda_{r+2},...,\lambda_{n}$ 的单位特征向量 $q_1,q_2,...,q_{s-1}$ 与 $q_{r+1},q_{r+2},...,q_{n}$ 已经求出，构成矩阵。

$P_1=(q_1,q_2,...,q_{s-1}),P_2=(q_{r+1},q_{r+2},...,q_{n})$

那么齐次线性方程组 $P_1^Hx=0$ 与 $P_2^Hx=0$ 的解空间能够确定，而且可以表示为：

$span(q_s,q_{s+1},...,q_n)$ 与 $span(q_1,q_2,...,q_r)$

设 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 为 $Hermite$ 矩阵，它的特征值与特征向量：

$\lambda_2=max\left \{ R(x)|x\ne 0,q_1^Hx=0 \right \}=max\left \{ R(x)|0\ne x\in span(q_s,q_{s+1},...,q_n) \right \}$

$\lambda_{n-1}=max\left \{ R(x)|x\ne 0,q_n^Hx=0 \right \}=max\left \{ R(x)|0\ne x\in span(q_1,q_2,...,q_r)\right \}$

其中 $1\leqslant s\leqslant n,1\leqslant r\leqslant n$ 。

定理表明， $Hermite$ 矩阵的任一特征值都可以用它的 $Rayleigh$ 商的局部极值来表示。但需要知道 $q_s,q_{s+1},...,q_n$ 或 $q_1,q_2,...,q_r$ ，下面结论可以避开这些问题。

设 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 为 $Hermite$ 矩阵，它的特征值按从到小的次序排列，则有：

$\lambda_s=\underset{P_1\in \mathbb{C}^{n\times (s-1)}}{min}\, \, max\left \{ R(x)|x\ne 0,P_1^Hx=0 \right \}$

$\lambda_r=\underset{P_2\in \mathbb{C}^{n\times (n-r)}}{max}\, \, min\left \{ R(x)|x\ne 0,P_2^Hx=0 \right \}$

其中 $1\leqslant s\leqslant n,1\leqslant r\leqslant n$ ，分别为特征值的极小极大原理，特征值的极大极小原理。

4，广义特征值

设 $A,B\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 都是 $Hermite$ 矩阵，且 $B$ 是 $Hermite$ 正定矩阵，若存在 $\lambda\in \mathbb{C}$ 及 $0\ne x\in \mathbb{C}^n$ 满足： $Ax=\lambda Bx$

则称 $\lambda$ 为 $A$ 相对于 $B$ 的广义特征值， $x$ 为属于 $\lambda$ 的广义特征向量。

上式等价于： $(\lambda B-A)x=0$

欲使上述齐次线性方程组有非零解，广义特征值 $\lambda$ 应满足：

$det(\lambda B-A)=0$

【例7】已知 $A=\begin{bmatrix} 5 &1 \\ 1& 1 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 18 &2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ ，求广义特征值问题 $Ax=\lambda Bx$ 。

因为 $det(\lambda B-A)=\begin{vmatrix} 18\lambda-5 & 2\lambda-1\\ 2\lambda-1& 2\lambda-1 \end{vmatrix}=(2\lambda -1)(16\lambda -4)$

所以广义特征值为 $\lambda _1=\frac{1}{2},\lambda _2=\frac{1}{4}$

分别求解其次线性方程组： $(\lambda_1B-A)x=0,(\lambda_2B-A)x=0$

可得对应于 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$ 的广义特征向量

$k_1\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}(k_1\ne 0),k_2\begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}(k_2\ne 0),$

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矩阵分析：特征值界估计，Hermite特征值，广义特征值

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2，特征值包含区域

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