偏序关系与偏序集相关
一.偏序集的定义.
偏序集：定义一个偏序集是由一个集合SSS与一个二元关系≤\leq≤组成的二元组O=(S,≤)O=(S,\leq)O=(S,≤)，满足：
1.自反性：对于任意元素x∈Sx\in Sx∈S，有x≤xx\leq xx≤x.
2.传递性：对于任意元素x,y,z∈Sx,y,z\in Sx,y,z∈S，若x≤y,y≤zx\leq y,y\leq zx≤y,y≤z，则x≤y≤zx\leq y\leq zx≤y≤z.
3.反对称性：对于任意元素x,y∈Sx,y\in Sx,y∈S，若x≤y,y≤xx\leq y,y\leq xx≤y,y≤x，则x=yx=yx=y.
偏序关系：我们称一个偏序集O=(S,≤)O=(S,\leq)O=(S,≤)中的偏序关系为二元关系≤\leq≤.
对于偏序集O=(S,≤)O=(S,\leq)O=(S,≤)，我们定义x∈Ox\in Ox∈O表示x∈Sx\in Sx∈S，∣O∣=∣S∣|O|=|S|∣O∣=∣S∣.
二.偏序集上的链相关.
集合的链：称一个由集合SSS中元素组成的集族(v1,v2,⋯,vn)(v_1,v_2,\cdots,v_n)(v1,v2,⋯,vn)为SSS的链当且仅当对于任意i≤ji\leq ji≤j满足vi⊆vjv_i\subseteq v_jvi⊆vj.
集合的反链：称一个由集合SSS中元素组成的集族(v1,v2,⋯,vn)(v_1,v_2,\cdots,v_n)(v1,v2,⋯,vn)为SSS的反链当且仅当任意i≠ji\neq ji=j满足vi⊈vjv_i\nsubseteq v_jvi⊈vj.
相当于把SSS的所有子集拎出来构成一个集族和二元关系⊆\subseteq⊆组成的偏序集上的概念.
sperner定理：集合SSS的最长反链长度为(∣S∣⌊∣S∣2⌋)\binom{|S|}{\left\lfloor\frac{|S|}{2}\right\rfloor}(⌊2∣S∣⌋∣S∣).
证明：
考虑对于集族中每一个元素UUU，我们将111到∣S∣|S|∣S∣的排列中属于这个UUU的放到前面进行排列，不属于的放到后面排列，会得到∣U∣!(∣S∣−∣U∣)!|U|!(|S|-|U|)!∣U∣!(∣S∣−∣U∣)!个排列.
那么在一个反链中，任意两个元素U,VU,VU,V，UUU按照上述方式生成的排列中不应该有与VVV生成的排列相同的.
设大小为iii元素有aia_iai个，那么：
∑i=0∣S∣ai∗i!(∣S∣−i)!≤n!∑i=0∣S∣ai(ni)≤1∑i=0∣S∣ai≤(n⌊n2⌋)\sum_{i=0}^{|S|}a_i*i!(|S|-i)!\leq n!\\ \sum_{i=0}^{|S|}\frac{a_i}{\binom{n}{i}}\leq 1\\ \sum_{i=0}^{|S|}a_i\leq \binom{n}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} i=0∑∣S∣ai∗i!(∣S∣−i)!≤n!i=0∑∣S∣(in)ai≤1i=0∑∣S∣ai≤(⌊2n⌋n)
证毕.
链：对于一个偏序集O=(S,≤)O=(S,\leq)O=(S,≤)，一个由OOO中元素组成的非重序列aia_iai满足ai≤ai+1a_i\leq a_{i+1}ai≤ai+1称为OOO的一条链.
反链：对于一个偏序集O=(S,≤)O=(S,\leq)O=(S,≤)，一个由OOO中元素组成的集合满足集合中任意元素x,yx,yx,y都不满足x≤yx\leq yx≤y，那么这个集合称为OOO的反链.
Dilworth定理1：对于一个偏序集O=(S,≤)O=(S,\leq)O=(S,≤)，OOO的最小反链划分等于OOO的最长链长度.
证明：
首先，由于两个在最长链上的元素必然不能处于同一反链中，所以最小反链划分≥\geq≥最长链长度.
之后，必然存在一个反链划分方式，使得每一次构造一个新的反链时，将所有极小元加入该反链中，数量为最长链长度.
证毕.
Dilworth定理2：对于一个偏序集O=(S,≤)O=(S,\leq)O=(S,≤)，OOO的最小链划分等于OOO的最长反链长度.
证明与上面类似.
推论1：大小为nm+1nm+1nm+1的偏序集，要么有长度至少为n+1n+1n+1的链，要么有长度至少为m+1m+1m+1的反链.
根据上面的Dilworth定理不难证明.
推论2：长度为nnn的数列，要么有长度至少为n\sqrt{n}n的非严格上升子序列，要么有长度至少为n\sqrt{n}n的非严格下降子序列.
根据推论1不难证明.
最小链覆盖可以利用二分图匹配来求，这里不再赘述.
三.偏序集上的容斥原理.
偏序集上的容斥原理：对于一个偏序集O=(S,≤)O=(S,\leq)O=(S,≤)上的两个函数f,gf,gf,g，我们希望找到一个二元函数μ(x,y)\mu(x,y)μ(x,y)，使得：
f(x)=∑y≤xg(y)⇔g(x)=∑y≤xμ(x,y)f(y)f(x)=\sum_{y\leq x}g(y)\Leftrightarrow g(x)=\sum_{y\leq x}\mu(x,y)f(y) f(x)=y≤x∑g(y)⇔g(x)=y≤x∑μ(x,y)f(y)
事实上这个东西叫做偏序集上的Mobius反演.
偏序集上的容斥系数：我们称二元函数μ(x,y)\mu(x,y)μ(x,y)为偏序集上容斥原理的容斥系数，也称作偏序集上的Mobius函数.
通过构造出偏序集上的μ\muμ函数，我们可以构造出很多东西，例如差分与前缀和的关系、广义容斥原理、Mobius反演等本质都是偏序集上的容斥原理.
四.差分与前缀和.
考虑一个偏序集(N,≤)(N,\leq)(N,≤)的μ\muμ函数是怎么样的.
我们将这个偏序集的容斥原理式写出来：
f(x)=∑y≤xg(y)⇔g(x)=∑y≤xμ(x,y)f(y)f(x)=\sum_{y\leq x}g(y)\Leftrightarrow g(x)=\sum_{y\leq x}\mu(x,y)f(y) f(x)=y≤x∑g(y)⇔g(x)=y≤x∑μ(x,y)f(y)
将第二个式子带入第一个式子得到：
f(x)=∑y≤x∑z≤yμ(y,z)f(z)=∑y≤xf(y)∑y≤z≤xμ(z,y)f(x)=\sum_{y\leq x}\sum_{z\leq y}\mu(y,z)f(z)=\sum_{y\leq x}f(y)\sum_{y\leq z\leq x}\mu(z,y) f(x)=y≤x∑z≤y∑μ(y,z)f(z)=y≤x∑f(y)y≤z≤x∑μ(z,y)
那么显然μ\muμ函数需要这样的性质：
∑y≤z≤xμ(z,y)=[x=y]\sum_{y\leq z\leq x}\mu(z,y)=[x=y] y≤z≤x∑μ(z,y)=[x=y]
发现可以这样构造μ\muμ函数：
μ(i,i)=1μ(i+1,i)=−1μ(i+2,i)=μ(i+3,i)=⋯=0\mu(i,i)=1\\ \mu(i+1,i)=-1\\ \mu(i+2,i)=\mu(i+3,i)=\cdots=0 μ(i,i)=1μ(i+1,i)=−1μ(i+2,i)=μ(i+3,i)=⋯=0
再重新代回去得到：
f(x)=∑y≤xg(y)⇔g(x)=f(x)−f(x−1)f(x)=\sum_{y\leq x}g(y)\Leftrightarrow g(x)=f(x)-f(x-1) f(x)=y≤x∑g(y)⇔g(x)=f(x)−f(x−1)
发现这玩意就是差分与前缀和的关系.
五.广义容斥原理.
我们构造一个排列中所有子集构成的集族SSS，然后构造一个偏序集G=(S,⊆)G=(S,\subseteq)G=(S,⊆).
先写出偏序集上的容斥原理：
f(S1)=∑S2⊆S1g(S2)⇔g(S1)=∑S2⊆S1μ(S1,S2)f(S1)f(S_1)=\sum_{S_2\subseteq S_1}g(S_2)\Leftrightarrow g(S_1)=\sum_{S_2\subseteq S_1}\mu(S_1,S_2)f(S_1) f(S1)=S2⊆S1∑g(S2)⇔g(S1)=S2⊆S1∑μ(S1,S2)f(S1)
将第二个式子带入第一个式子得到：
f(S1)=∑S2⊆S1∑S3⊆S2μ(S2,S3)f(S3)=∑S2⊆S1f(S2)∑S2⊆S3⊆S1μ(S3,S2)f(S_1)=\sum_{S_2\subseteq S_1}\sum_{S_3\subseteq S_2}\mu(S_2,S_3)f(S_3)=\sum_{S_2\subseteq S_1}f(S_2)\sum_{S_2\subseteq S_3\subseteq S_1}\mu(S_3,S_2) f(S1)=S2⊆S1∑S3⊆S2∑μ(S2,S3)f(S3)=S2⊆S1∑f(S2)S2⊆S3⊆S1∑μ(S3,S2)
同样现在μ\muμ函数要有这样的性质：
∑S2⊆S3⊆S1μ(S3,S2)=[S1=S2]\sum_{S2\subseteq S_3\subseteq S_1} \mu(S_3,S_2)=[S_1=S_2] S2⊆S3⊆S1∑μ(S3,S2)=[S1=S2]
现在考虑把集合S2S_2S2去掉可以得到：
∑S3⊆S1−S2μ(S3∪S2,S2)=[S1−S2=∅]\sum_{S_3\subseteq S_1-S_2}\mu(S_3\cup S_2,S_2)=[S_1-S_2=\empty] S3⊆S1−S2∑μ(S3∪S2,S2)=[S1−S2=∅]
考虑一个我们已经知道的式子：
∑T⊆[n](−1)∣T∣=∑i=0n(−1)i(ni)=[n=0]\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|}=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\binom{n}{i}=[n=0] T⊆[n]∑(−1)∣T∣=i=0∑n(−1)i(in)=[n=0]
可以想到一个符合条件的构造方式为：
μ(S1,S2)=(−1)∣S1∣−∣S2∣\mu(S_1,S_2)=(-1)^{|S_1|-|S_2|} μ(S1,S2)=(−1)∣S1∣−∣S2∣
代回去后得到：
f(S1)=∑S2⊆S1g(S2)⇔g(S1)=∑S2⊆S1(−1)∣S1∣−∣S2∣f(S1)f(S_1)=\sum_{S_2\subseteq S_1}g(S_2)\Leftrightarrow g(S_1)=\sum_{S_2\subseteq S_1}(-1)^{|S_1|-|S_2|}f(S_1) f(S1)=S2⊆S1∑g(S2)⇔g(S1)=S2⊆S1∑(−1)∣S1∣−∣S2∣f(S1)
发现这个东西就是广义容斥原理.
六.二元组偏序集上的容斥原理.
定义一个二元组集合S={(x,y)∣x∈N,y∈N}S=\{(x,y)|x\in N,y\in N\}S={(x,y)∣x∈N,y∈N}，其中(x1,y1)≤(x2,y2)(x_1,y_1)\leq (x_2,y_2)(x1,y1)≤(x2,y2)等价于x1≤x2∧y1≤y2x_1\leq x_2\wedge y_1\leq y_2x1≤x2∧y1≤y2，构造一个偏序集G=(S,≤)G=(S,\leq)G=(S,≤).
先写出偏序集上的容斥原理：
f(x1,y1)=∑x2≤x1∧y2≤y1g(x2,y2)⇔g(x1,y1)=∑x2≤x1,∧y2≤y1μ(x1,y1,x2,y2)f(x2,y2)f(x_1,y_1)=\sum_{x_2\leq x_1\wedge y_2\leq y_1}g(x_2,y_2)\Leftrightarrow g(x_1,y_1)=\sum_{x_2\leq x_1,\wedge y_2\leq y_1}\mu(x_1,y_1,x_2,y_2)f(x_2,y_2) f(x1,y1)=x2≤x1∧y2≤y1∑g(x2,y2)⇔g(x1,y1)=x2≤x1,∧y2≤y1∑μ(x1,y1,x2,y2)f(x2,y2)
然后将第二个式子代入第一个式子中得到：
f(x1,y1)=∑x2≤x1∧y2≤y1∑x3≤x2∧y3≤y2(x2,y2,x3,y3)f(x3,y3)=∑x2≤x1∧y2≤y1f(x2,y2)∑x2≤x3≤x1∧y2≤y3≤y1μ(x3,y3,x2,y2)f(x_1,y_1)=\sum_{x_2\leq x_1\wedge y_2\leq y_1}\sum_{x_3\leq x_2\wedge y_3\leq y_2}(x_2,y_2,x_3,y_3)f(x_3,y_3)=\sum_{x_2\leq x_1\wedge y_2\leq y_1}f(x_2,y_2)\sum_{x_2\leq x_3\leq x_1\wedge y_2\leq y_3\leq y_1}\mu(x_3,y_3,x_2,y_2) f(x1,y1)=x2≤x1∧y2≤y1∑x3≤x2∧y3≤y2∑(x2,y2,x3,y3)f(x3,y3)=x2≤x1∧y2≤y1∑f(x2,y2)x2≤x3≤x1∧y2≤y3≤y1∑μ(x3,y3,x2,y2)
那么μ\muμ函数该有的性质应为：
∑x2≤x3≤x1,y2≤y3≤y1μ(x3,y3,x2,y2)=[x1=x2∧y1=y2]\sum_{x_2\leq x_3\leq x_1,y_2\leq y_3\leq y_1}\mu(x_3,y_3,x_2,y_2)=[x_1=x_2\wedge y_1=y_2] x2≤x3≤x1,y2≤y3≤y1∑μ(x3,y3,x2,y2)=[x1=x2∧y1=y2]
考虑将μ\muμ函数拆成两份，得到：
(∑x2≤x3≤x1μ1(x3,x2))(∑y2≤y3≤y1μ2(y3,y2))=[x1=x2]∗[y1=y2]\left(\sum_{x_2\leq x_3\leq x_1} \mu_1(x_3,x_2)\right)\left(\sum_{y_2\leq y_3\leq y_1}\mu_2(y_3,y_2)\right)=[x_1=x_2]*[y_1=y_2]\\ (x2≤x3≤x1∑μ1(x3,x2))(y2≤y3≤y1∑μ2(y3,y2))=[x1=x2]∗[y1=y2]
那么现在就只需要有：
∑x2≤x3≤x1μ1(x3,x2)=[x1=x2]∑y2≤y3≤y1μ2(y3,y2)=[y1=y2]\sum_{x_2\leq x_3\leq x_1} \mu_1(x_3,x_2)=[x_1=x_2]\\ \sum_{y_2\leq y_3\leq y_1} \mu_2(y_3,y_2)=[y_1=y_2] x2≤x3≤x1∑μ1(x3,x2)=[x1=x2]y2≤y3≤y1∑μ2(y3,y2)=[y1=y2]
发现这两个式子均可以用上面前缀和与差分的方法构造.
然后就可以构造μ(x1,y1,x2,y2)=μ1(x1,x2)μ2(y1,y2)\mu(x_1,y_1,x_2,y_2)=\mu_1(x_1,x_2)\mu_2(y_1,y_2)μ(x1,y1,x2,y2)=μ1(x1,x2)μ2(y1,y2).
七.Mobius反演.
考虑构造偏序集O=(N+,∣)O=(N_+,|)O=(N+,∣)上的μ\muμ函数.
先把容斥式子写出来：
f(x)=∑y∣xg(y)⇔g(x)=∑y∣xμ(x,y)f(y)f(x)=\sum_{y|x}g(y)\Leftrightarrow g(x)=\sum_{y|x}\mu(x,y)f(y) f(x)=y∣x∑g(y)⇔g(x)=y∣x∑μ(x,y)f(y)
把第二个式子代入第一个式子中：
f(x)=∑y∣x∑z∣yμ(y,z)f(z)=∑y∣xf(y)∑y∣z∣xμ(z,y)f(x)=\sum_{y|x}\sum_{z|y}\mu(y,z)f(z)=\sum_{y|x}f(y)\sum_{y|z|x}\mu(z,y) f(x)=y∣x∑z∣y∑μ(y,z)f(z)=y∣x∑f(y)y∣z∣x∑μ(z,y)
然后得到μ\muμ函数该有的性质：
∑y∣z∣xμ(z,y)=[x=y]\sum_{y|z|x}\mu(z,y)=[x=y] y∣z∣x∑μ(z,y)=[x=y]
根据上面二元组的方法，我们可以将nnn唯一分解成几个质因数的乘积形式，并用乘积的数量拆成若干个偏序集(c2,≤),(c3,≤),⋯(c_2,\leq),(c_3,\leq),\cdots(c2,≤),(c3,≤),⋯的乘积，然后对于每一个(cp,≤)(c_p,\leq)(cp,≤)，我们定义它的容斥系数为μp\mu_pμp.
接下来我们用PPP表示素数集，用cp(x)c_{p}(x)cp(x)表示xxx唯一分解后ppp的数量，那么有：
∏p∈P∑cp(y)≤cp(z)≤cp(x)μp(cp(z),cp(y))=∏p∈P[cp(x)=cp(y)]\prod_{p\in P}\sum_{c_p(y)\leq c_{p}(z)\leq c_{p}(x)}\mu_p(c_p(z),c_p(y))=\prod_{p\in P}[c_p(x)=c_p(y)] p∈P∏cp(y)≤cp(z)≤cp(x)∑μp(cp(z),cp(y))=p∈P∏[cp(x)=cp(y)]
对于其中每一个等式：
∑cp(y)≤cp(z)≤cp(x)μp(cp(z),cp(y))=[cp(x)=cp(y)]\sum_{c_p(y)\leq c_{p}(z)\leq c_{p}(x)}\mu_p(c_p(z),c_p(y))=[c_p(x)=c_p(y)] cp(y)≤cp(z)≤cp(x)∑μp(cp(z),cp(y))=[cp(x)=cp(y)]
我们可以通过与上面差分与前缀和类似的方式构造出：
μp(cp(x),cp(x))=1μp(cp(x)+1,cp(x))=−1μp(cp(x)+2,cp(x))=μp(cp(x)+3,cp(x))=⋯=0\mu_p(c_p(x),c_p(x))=1\\ \mu_p(c_p(x)+1,c_p(x))=-1\\ \mu_p(c_p(x)+2,c_p(x))=\mu_p(c_p(x)+3,c_p(x))=\cdots=0 μp(cp(x),cp(x))=1μp(cp(x)+1,cp(x))=−1μp(cp(x)+2,cp(x))=μp(cp(x)+3,cp(x))=⋯=0
然后我们构造容斥系数μ′\mu'μ′满足：
μp′(x,y)=μp(cp(x),cp(y))={1cp(x)−cp(y)=0−1cp(x)−cp(y)=10cp(x)−cp(y)>1\mu'_p(x,y)=\mu_p(c_p(x),c_p(y))= \left\{\begin{matrix} 1&c_p(x)-c_p(y)=0\\ -1&c_p(x)-c_p(y)=1\\ 0&c_p(x)-c_p(y)>1 \end{matrix}\right. μp′(x,y)=μp(cp(x),cp(y))=⎩⎨⎧1−10cp(x)−cp(y)=0cp(x)−cp(y)=1cp(x)−cp(y)>1
那么对于原来的μ\muμ函数就有：
μ(x,y)=∏p∈Pμp′(x,y)\mu(x,y)=\prod_{p\in P}\mu'_p(x,y) μ(x,y)=p∈P∏μp′(x,y)
然后我们还可以发现一条性质，即：
μ(x,y)=μ(xy,1)\mu(x,y)=\mu\left(\frac{x}{y},1\right) μ(x,y)=μ(yx,1)
所以我们把μ(x,y)\mu(x,y)μ(x,y)简写成μ(xy)\mu(\frac{x}{y})μ(yx)，代回原来的式子中就有：
f(x)=∑y∣xg(x)⇔g(x)=∑y∣xf(x)μ(xy)f(x)=\sum_{y|x}g(x)\Leftrightarrow g(x)=\sum_{y|x}f(x)\mu\left(\frac{x}{y}\right) f(x)=y∣x∑g(x)⇔g(x)=y∣x∑f(x)μ(yx)
这个式子即为数论中的Mobius反演.
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