陈越《数据结构》第一讲基本概念

1什么是数据结构

1.1 引子

例子：如何在书架上摆放图书？

随便放；

按照书名的拼音字母顺序排放；

把书架划分成几块区域，每块区域指定摆放某种类别的图书；在每种类别内，按照书名的拼音字母顺序排放。

解决问题方法的效率，跟数据的组织方式有关。 \color{red}{解决问题方法的效率，跟数据的组织方式有关。} 解决问题方法的效率，跟数据的组织方式有关。

例2：写程序实现一个函数PrintN，使得传入一个正整数为N的参数后，能顺序打印从1到N的全部正整数。

循环实现；

递归实现。//数值从 10 到 1 0 6 10到10^6 10到106
解决问题方法的效率，跟空间的利用效率有关。 \color{red}{解决问题方法的效率，跟空间的利用效率有关。} 解决问题方法的效率，跟空间的利用效率有关。

例3：写程序计算给定多项式在给定点x处的值。

利用 p + = ( a [ i ] ∗ p o w ( x , i ) ) ; p += (a[i] * pow(x, i)); p+=(a[i]∗pow(x,i));进行计算；

秦九韶利用 p = a [ i − 1 ] + x ∗ p ; p = a[i-1] + x*p; p=a[i−1]+x∗p;进行计算；
用 time.h中的常数CLK_TCK，clock_t start, stop;计算时间。
解决问题方法的效率，跟算法的巧妙程度有关。 \color{red}{解决问题方法的效率，跟算法的巧妙程度有关。} 解决问题方法的效率，跟算法的巧妙程度有关。

即：解决问题方法的效率，跟数据的组织方式、跟空间的利用效率和跟算法的巧妙程度有关。

数据结构是：

数据对象 \color{red}{数据对象} 数据对象在计算机中的组织方式(逻辑结构、物理存储结构)；
2.数据对象必定与一系列加在其上的操作 \color{red}{操作} 操作相关联；
3.完成这些操作所用的方法就是算法 \color{red}{算法} 算法。

1.2 抽象数据类型

数据结构

数据对象在计算机中的组织方式(逻辑结构、物理存储结构)；

数据对象操作的关联关系；

数据对象的最高效算法。

抽象数据类型

数据类型

数据对象集;

数据集合相关联的操作集。

抽象(描述数据类型的方法不依赖于具体实现)

与存放数据的机器无关;

与数据存储的物理结构无关;

与实现操作的算法和编程语言均无关。

2. 什么是算法

算法（ A l g o r i t h m ） \color{red}{算法（Algorithm ）} 算法（Algorithm）定义：

一个有限指令集;

接受一些输入（有些情况下不需要输入）;

产生输出(必须);

一定在有限步骤之后终止；

每一条指令必须：
有充分明确的目标，不可以有歧义；

计算机能处理的范围之内；

描述应不依赖于任何一种计算机语言以及具体的实现手段。

2.1什么是好的算法？

空间复杂度 S ( n ) \color{red}{空间复杂度S(n)} 空间复杂度S(n) 占用存储单元的长度。

时间复杂度 T ( n ) \color{red}{时间复杂度T(n)} 时间复杂度T(n) 耗费时间的长度。

在例3中，第一种方法的时间复杂度是 T ( n ) = C 1 n 2 + C 2 n T(n) = C_1n^2+C_2n T(n)=C1n2+C2n；秦九韶的时间复杂度是 T ( n ) = C . n T(n) =C.n T(n)=C.n。

在分析一般算法的效率时，我们经常关注下面两种复杂度：

最坏情况复杂度 \color{red}{最坏情况复杂度} 最坏情况复杂度 T w o r s t ( n ) T_{worst}( n ) Tworst(n);

平均复杂度 \color{red}{平均复杂度} 平均复杂度 T a v g ( n ) T_{avg}( n ) Tavg(n)。
其中我们最关心最坏情况复杂度 \color{red}{最坏情况复杂度} 最坏情况复杂度。

2.2 一些基本概念

复杂度的渐进表示法 \color{red}{复杂度的渐进表示法} 复杂度的渐进表示法

上界： T ( n ) = O ( f ( n ) ) T(n) = O(f(n)) T(n)=O(f(n))；

下界： T ( n ) = Ω ( g ( n ) ) T(n) = Ω(g(n)) T(n)=Ω(g(n))；

上下界等价： T ( n ) = Θ ( h ( n ) ) ; Θ ( h ( n ) ) = O ( f ( n ) ) ， Θ ( h ( n ) ) = Ω ( g ( n ) ) T(n) = Θ(h(n));Θ(h(n))=O(f(n))，Θ(h(n))=Ω(g(n)) T(n)=Θ(h(n));Θ(h(n))=O(f(n))，Θ(h(n))=Ω(g(n))。
我们写 O ( f ( n ) ) 时，是写最小上界，写 Ω ( g ( n ) 时，是写最大下界，这样才有意义。 \color{red}{我们写{O(f(n))}时，是写最小上界，写Ω(g(n)时，是写最大下界，这样才有意义。} 我们写O(f(n))时，是写最小上界，写Ω(g(n)时，是写最大下界，这样才有意义。

复杂度的渐进表示法 \color{red}{复杂度的渐进表示法} 复杂度的渐进表示法

若两段算法分别有复杂度 T 1 ( n ) = O ( f 1 ( n ) ) T_1(n) = O(f_1(n)) T1(n)=O(f1(n))和 T 2 ( n ) = O ( f 2 ( n ) ) T_2(n) =O(f_2(n)) T2(n)=O(f2(n))，则:

T 1 ( n ) + T 2 ( n ) = m a x ( O ( f 1 ( n ) ) , O ( f 2 ( n ) ) ) T_1(n)+T_2(n)=max( O(f_1(n)),O(f_2(n))) T1(n)+T2(n)=max(O(f1(n)),O(f2(n)));

T 1 ( n ) ∗ T 2 ( n ) = O ( f 1 ( n ) ∗ f 2 ( n ) ) 。 T_1(n) * T_2(n) = O( f_1(n) * f_2(n) )。 T1(n)∗T2(n)=O(f1(n)∗f2(n))。

若 T ( n ) T(n) T(n)是关于 n 的 k 阶多项式 \color{red}{n的k阶多项式} n的k阶多项式，那么起作用的是最大项，即 T ( n ) = Θ ( n k ) ; \color{red}{T(n)=Θ(n^k);} T(n)=Θ(nk);

一个 f o r 循环的时间复杂度 \color{red}{一个for循环的时间复杂度} 一个for循环的时间复杂度等于循环次数 \color{red}{循环次数} 循环次数乘以循环体代码的复杂度； \color{red}{循环体代码的复杂度；} 循环体代码的复杂度；

i f − e l s e 结构 \color{red}{if-else 结构} if−else结构的复杂度取决于if的条件判断复杂度和两个分枝部分的复杂度，总体复杂度取三者中最大； \color{red}{总体复杂度取三者中最大；} 总体复杂度取三者中最大；

O ( n 2 ) 复杂度的算法本能的优化为 O ( n l o g n ) 。 \color{red}{O(n^2)复杂度的算法本能的优化为O(n log n)。} O(n2)复杂度的算法本能的优化为O(nlogn)。

3.应用实例：最大子列和问题

应用实例：最大子列和问题

01 - 复杂度1 最大子列和问题(20分)
例如给定序列 { − 2 , 11 , − 4 , 13 , − 5 , − 2 } \{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 \} {−2,11,−4,13,−5,−2}，其连续子列 { 11 , − 4 , 13 } \{ 11, -4, 13 \} {11,−4,13}有最大的和 20 20 20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：
- 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
- 数据2： 1 0 2 10^2 102个随机整数；
- 数据3： 1 0 3 10^3 103个随机整数；
- 数据4： 1 0 4 10^4 104个随机整数；
- 数据5： 1 0 5 10^5 105个随机整数；
输入格式 :
输入第1行给出正整数K(≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。
输出格式 :
在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。
输入样例 :

6
-2 11 -4 13 -5 -2
输出样例 :

20

解决方法 : \color{red}{解决方法}: 解决方法:

时间复杂度为 T ( N ) = O ( N 3 ) T( N ) = O( N^3 ) T(N)=O(N3);

时间复杂度为 T ( N ) = O ( N 2 ) T( N ) = O( N^2 ) T(N)=O(N2);

时间复杂度为 T ( N ) = O ( N l o g N ) T( N ) = O( N logN ) T(N)=O(NlogN);（分而治之）

时间复杂度为 T ( N ) = O ( N ) T( N ) = O( N ) T(N)=O(N)。（在线处理）

时间复杂度为 T ( N ) = O ( N 2 ) T( N ) = O( N^2 ) T(N)=O(N2)的代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>#define MAXN 100000
int arr[MAXN];int MaxSubseqSum(int A[], int N);int main()
{int i, n;scanf("%d",&n);for (i = 0; i < n; i++)scanf("%d",&arr[i]);printf("%d\n",MaxSubseqSum(arr,n));system("pause");return 0;
}int MaxSubseqSum(int A[], int N)
{int ThisSum, MaxSum = 0;int i, j;for (i = 0; i < N; i++){ThisSum = 0;for (j = i; j < N; j++){ThisSum = ThisSum + A[j];if (ThisSum > MaxSum)MaxSum = ThisSum;}      }return MaxSum;
}

分而治之的代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#define MAXN 100000
int arr[MAXN + 10];int maxThree(int a,int b,int c);
int maxSubSeq(int arr[],int low,int height);
int maxSubSeq1(int arr[],int n);
int main()
{int i, n;scanf("%d", &n);for(i = 0; i < n; i++)scanf("%d", &arr[i]); printf("%d\n", maxSubSeq(arr, 0, n-1));system("pause");return 0;
}
int maxSubSeq1(int arr[],int n)
{int i = 0, iThisSum = 0, iMaxSum = 0;for(i = 0; i < n; i++){iThisSum += arr[i];if(iThisSum > iMaxSum) iMaxSum = iThisSum;else if(iThisSum < 0) iThisSum = 0;}return iMaxSum;
}
int maxSubSeq(int arr[], int low, int height)
{int i = 0, iMid = 0, iThisSum = 0, iLeftMax = 0, iRightMax = 0, iLeftMaxSum = 0, iRightMaxSum = 0;if(low >= height) return arr[low];iMid = (low + height)/2;iLeftMax = maxSubSeq(arr,low,iMid);//左边最大iRightMax = maxSubSeq(arr,(iMid+1),height);//右边最大//中间（跨越）最大iThisSum = iLeftMaxSum = 0;for(i = iMid ; i >low ; i-- ){iThisSum += arr[i];if(iThisSum > iLeftMaxSum) iLeftMaxSum = iThisSum;}iThisSum = iRightMaxSum = 0;for(i = iMid ; i <height ; i++){iThisSum += arr[i];if(iThisSum > iRightMaxSum) iRightMaxSum = iThisSum;}return maxThree(iLeftMax , iRightMax, (iRightMaxSum + iLeftMaxSum));}
int maxThree(int a,int b,int c)
{int max = a;if(b > max) max = b;if(c > max) max = c;return max;
}