杨老师的新课！数学应用

d2xdt2+64x=0\frac{d^2x}{dt^2}+64x=0dt2d2x+64x=0
x(0)=23x(0)=\frac{2}{3}x(0)=32
x′(0)=−43x'(0)=-\frac{4}{3}x′(0)=−34
x(t)=23cos8t−16sin8t=sinϕcosδt+cosϕsinδtx(t)=\frac{2}{3}cos8t-\frac{1}{6}sin8t=sin\phi cos \delta t+cos \phi sin \delta tx(t)=32cos8t−61sin8t=sinϕcosδt+cosϕsinδt
=(23)2+(−16)2sin(δt+ϕ)=\sqrt{(\frac{2}{3})^2+(-\frac{1}{6})^2}sin(\delta t + \phi)=(32)2+(−61)2sin(δt+ϕ)
tanϕ=23−16tan \phi = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{6}}tanϕ=−6132
ϕ=arctan⁡(−4)+π=1.816rad\phi = \arctan(-4)+\pi=1.816 radϕ=arctan(−4)+π=1.816rad
τ\tauτ
d2x\frac{d^2x}{}d2x

critical damp motion,

λ2−ω2=0\lambda^2-\omega^2=0λ2−ω2=0
β2=4ωk\beta^2=4\omega kβ2=4ωk

x(t)=c1e−λt+c2te−λtx(t)=c_1e^{-\lambda t}+c_2 t e^{-\lambda t}x(t)=c1e−λt+c2te−λt
λ2−ω2<0\lambda ^2-\omega^2<0λ2−ω2<0
x(t)=e−λt(c1cosx(t)=e^{-\lambda t}(c_1 cosx(t)=e−λt(c1cos

undamped motion
这几个区分一下哈

undamped motion 就是这个系统没有阻力，就是一个正弦波，快乐的摇摆
overdamped motion 就是这个系统阻力贼大，就是这个东西一把就完事了，回不了平衡点了
critical damped mption 就是能回到平衡点，但是只能一次，就是一个临界点，再小一点就能震起来了
underdamped motion 就是这个系统的阻力非常小，这个东西缓慢的下降

d2xdt2+βmdxdt+kmx=0\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{\beta}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0dt2d2x+mβdtdx+mkx=0
β=2\beta = 2β=2
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ft at position 7: k=4 lb\̲f̲t̲
m=8lb32ft/ω2m=\frac{8lb}{32ft/\omega^2}m=32ft/ω28lb
d2xdt2+8dxdt+16x=0\frac{d^2x}{dt^2}+8\frac{dx}{dt}+16x=0dt2d2x+8dtdx+16x=0
x(0)=0x(0)=0x(0)=0
x′(0)=−3x'(0)=-3x′(0)=−3
x(t)=−3te−4tx(t)=-3te^{-4t}x(t)=−3te−4t
x′(t)=0→−3e−4t(1−4t)=0x'(t)=0 \rightarrow -3 e^{-4t}(1-4t)=0x′(t)=0→−3e−4t(1−4t)=0
t=14t=\frac{1}{4}t=41

x(14)=−0.276ftx(\frac{1}{4})=-0.276ftx(41)=−0.276ft
above the equilibrium
d2xdt+βmdxdt+kmx=0\frac{d^2x}{dt}+\frac{\beta}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0dtd2x+mβdtdx+mkx=0
β=1\beta = 1β=1
m=16lb32ft/s2=12lbs2ftm=\frac{16lb}{32 ft/s^2}=\frac{1}{2} \frac{lbs^2}{ft}m=32ft/s216lb=21ftlbs2
k=16lb/3.2ft=5lb/ftk=16lb/3.2ft=5lb/ftk=16lb/3.2ft=5lb/ft
d2(x)dt2+2dxdt+10x=0\frac{d^2(x)}{dt^2}+2\frac{dx}{dt}+10x=0dt2d2(x)+2dtdx+10x=0
x(0)=−2x(0)=-2x(0)=−2
x′(0)=0x'(0)=0x′(0)=0
x(t)=e−t(−2cos3t−23sin3t)x(t)=e^{-t}(-2cos3t-\frac{2}{3}sin3t)x(t)=e−t(−2cos3t−32sin3t)
e−t[(−2)]e^{-t}[\sqrt{(-2)}]e−t[(−2)]
15\frac{1}{5}51

x(t)=e−3t(3851cost−8651sint)−(25102cos4t+5051)x(t)=e^{-3t}(\frac{38}{51}cost-\frac{86}{51}sint)-(\frac{25}{102}cos4t+\frac{50}{51})x(t)=e−3t(5138cost−5186sint)−(10225cos4t+5150)

with damping
d2xdt2+ω2x=F0sinγt,x(0)=0,x′(0)=0\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x= F_0sin \gamma t, x(0)=0,x'(0)=0dt2d2x+ω2x=F0sinγt,x(0)=0,x′(0)=0
x(t)=F0ω(ω02−γ2)(−γsinωt+ωsinγt),γ≠ωx(t)=\frac{F_0}{\omega(\omega_0^2-\gamma^2)}(-\gamma sin\omega t+\omega sin \gamma t), \gamma \ne \omegax(t)=ω(ω02−γ2)F0(−γsinωt+ωsinγt),γ=ω
$$x(t)=\frac{F_0}{2\omega^2}sin\omega t - $$

共振，就是两个函数的波峰在同样的时候出现，这样他们的就越来越强，越来越强

ω\omegaω
β\betaβ
resonance

resonance

axis of symmetry

deflection curve

beam

d2Mdx2=w(x)→load负载\frac{d^2M}{dx^2}=w(x) \rightarrow load 负载dx2d2M=w(x)→load负载
M:boundaryM: boundary M:boundary

弯矩

抗弯刚度

M=EIKM=EIKM=EIK
K≈y′′K \approx y''K≈y′′

deflection

constant load
w0w_0w0

EId4ydx4=w0EI\frac{d^{4}y}{dx^4}=w_0EIdx4d4y=w0
y(0)=0y(0)=0y(0)=0
y(l)=0y(l)=0y(l)=0
y′(0)=0y'(0)=0y′(0)=0
y′(l)=0y'(l)=0y′(l)=0
y(x)=y(x)=y(x)=

eigenvalue

eigenfunction

y′′+λy=0y''+\lambda y =0y′′+λy=0
y(0)=0y(0)=0y(0)=0
y(L)=0y(L)=0y(L)=0
L≠0L\ne 0L=0

sol
λ=0\lambda =0λ=0

y′′=0y''=0y′′=0
y=c1x+c2y=c_1x+c_2y=c1x+c2
y(0)=0→c2=0y(0)=0 \rightarrow c_2=0y(0)=0→c2=0
y(l)=0→c1L=0→c1=0y(l)=0 \rightarrow c_1L=0 \rightarrow c_1=0y(l)=0→c1L=0→c1=0
case ii
λ<0\lambda <0λ<0
λ=−\lambda = -λ=−

λ>0\lambda >0λ>0
λ=α2,α>0\lambda = \alpha^2, \alpha >0λ=α2,α>0
y′′+α2y=0→y=c1cos(αx)y''+\alpha^2y=0 \rightarrow y=c_1 cos(\alpha x)y′′+α2y=0→y=c1cos(αx)

euler load
LLL
PPP

EId2ydx2+py=0EI\frac{d^2y}{dx^2}+py=0EIdx2d2y+py=0
y(0)=0y(0)=0y(0)=0
y(L)=0y(L)=0y(L)=0
λ=PEI\lambda = \frac{P}{EI}λ=EIP
y′′+λy=0y''+\lambda y =0y′′+λy=0
y(0)=0y(0)=0y(0)=0
y(l)=0y(l)=0y(l)=0
pn=n2π2EIL2,n=1,2,3,...p_n=\frac{n^2\pi^2EI}{L^2}, n = 1,2,3,...pn=L2n2π2EI,n=1,2,3,...
p1=π2EI/L2p_1=\pi^2EI/L^2p1=π2EI/L2
yyy
LLL

y(x)y(x) y(x)
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