关于欧拉工程的一道递推题

今天来讲的是在欧拉工程上的一道递推题，题目描述如下链接。

题目：https://projecteuler.net/problem=492

当然，这道题在51Nod上有一个比较通用的版本，链接如下

题目：http://www.51nod.com/contest/problem.html#!problemId=1361

题意：给定，并且有，给定两个数和，求的值。其中

满足和，并且为素数。

分析：首先对原递推式进行变换得到

那么令，继而有，而。到了这里，假设

那么我们带入继续递推会发现一个神奇的结论

其中假设取其中一个解如下

那么得到如下

好了，到了这里，最直观的做法就是根据上述公式求出，然后会带回去求出即可。

如果想用二次剩余的方法来做，因为可能无解，所以不能用这种方法做。看成更一般

形式的求解，比如下面

那么回忆之前的一篇文章：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8994222，重

点是HDU4565题，这是明显可以构造矩阵的，具体如何构造不再赘述。然后先得到递推式如下

所以最终得到如下

可以看到矩阵的指数很大，所以需要降小，而这是一个经典的矩阵找寻环节问题。之前有篇文章，如下

链接：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/25616461

当时那道题由于要求最小的循环节，所以要求比较精确，必须枚举因子。但是对于本题不同，我们只要能

求出一个合理的循环节即可，不要求最小的，因为不影响最终结果。

参照当时的结论，由于117不是素数，所以只有两种情况。

（1）如果117是的二次剩余时，最小循环节是的因子，我们可以取作为循环节。

（2）如果117是的二次非剩余时，最小循环节是的因子，可以取作

为循环节。

到了这里大部分问题都已经解决。实际上当117是的二次非剩余时，循环节可以为，至于为什么是

正确的，请来个大神证明！另外为2或者3时，需要特判。

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>using namespace std;
typedef long long LL;const int N = 2;struct Matrix
{LL m[N][N];
};Matrix I =
{1, 0,0, 1
};LL quick_mod(LL a, LL b, LL m)
{LL ans = 1;a %= m;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % m;b--;}b >>= 1;a = a * a % m;}return ans;
}LL Legendre(LL a, LL p)
{  LL t = quick_mod(a, (p - 1) >> 1, p);  if(t == 1) return 1;  return -1;
}  Matrix multi(Matrix a, Matrix b, LL m)
{Matrix c;for(int i = 0; i < N; i++){for(int j = 0; j < N; j++){c.m[i][j] = 0;for(int k = 0; k < N; k++)c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j] % m;c.m[i][j] %= m;}}return c;
}Matrix power(Matrix A, LL k, LL m)
{Matrix ans = I, p = A;while(k){if(k & 1){ans = multi(ans, p, m);k--;}k >>= 1;p = multi(p, p, m);}return ans;
}LL GetLoop(LL p)
{if(Legendre(117, p) == -1)return p + 1;return p - 1;
}int main()
{int T;scanf("%d", &T);while(T--){LL n, p;scanf("%lld %lld", &n, &p);if(p == 2 || p == 3){puts("1");continue;}Matrix A;A.m[0][0] = 11 % p;A.m[0][1] = p - 1;A.m[1][0] = 1;A.m[1][1] = 0;LL loop = GetLoop(p);LL x = quick_mod(2, n - 1, loop);x = ((x - 1) % loop + loop) % loop;Matrix ans = power(A, x, p);LL res = (ans.m[1][0] * 119 % p + ans.m[1][1] * 11 % p) % p;res = ((res - 5) % p + p) % p;res = res * quick_mod(6, p - 2, p) % p;printf("%lld\n", res);}return 0;
}

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