牛客网递归错题：递归、欧几里得求最大公约数的时间复杂度、线性递归与尾递归实例区别

很久找不到学习的平衡点，似乎有目的性的去解决问题寻求方法获得知识会比直接吸取知识要有趣，更印象深刻，这些都是我爬过的坑，以此铭记在心。

1. 队列在程序调用时必不可少,因此递归离不开队列。`×`

递归是栈实现的。栈是先进后出，也就是上次递归调用的时候，保存在栈顶。在返回的时候出栈，所以是递归依靠栈实现的

递归的定义：递归调用是一种特殊的嵌套调用，是某个函数调用自己或者是调用其他函数后再次调用自己的，只要函数之间互相调用能产生循环的则一定是递归调用

递归的特点：

函数要直接或间接调用自身。
要有递归终止条件检查，即递归终止的条件被满足后，则不再调用自身函数，函数的调用原则和数据结构栈的实现是相一致。（类似于不断压栈，直到栈满，作为终止条件）
如果不满足递归终止的条件，则调用涉及递归调用的表达式。在调用函数自身时，有关终止条件的参数要发生变化，而且需向递归终止的方向变化。

2. 以下程序是用来计算两个非负数之间的最大公约数：

long long gcd(long long x, long long y) {if (y == 0)return x;elsereturn gcd(y, x % y);
}

我们假设x,y中最大的那个数的长度为n，基本运算时间复杂度为O(1)，那么该程序的时间复杂度为o(log n)

求最大公约数用的是辗转相除法（欧几里得算法）：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数，所以是O(log n)。最大公约数还有Stein算法计算

3. 设有递归算法如下，

int x(int n)
{if(n<=3)return 1;elsereturn x(n-2)+x(n-4)+1;
}

试问计算x(x(8))时需要计算18次x函数。

根据题意，易得x(3) = x(2) = x(1) = x(0) = 1
x(8) = x(6) +x(4) +1
= x(4) + x(2) +1 + x(2) + x(0) +1 + 1
= x(2) + x(0) +1 + 1 + 1 +1 + 1 +1 + 1
= 9
x(8) 这个就调用了9次函数x(int n)
同理可得x(9)也是调用了9次函数x(int n)
所以总共18次。

4. 4个圆盘的Hanoi塔,总的移动次数为`15`

Hanoi 问题的理解是：

先把上面n-1个圆盘移到第二个柱子上(共f(n-1)步）
再把最后一个圆盘移到第三个柱子(共1步）
再把第二柱子上的圆盘移动到第三个柱子上（共f(n-1)步）
于是得出其递推方程：f(n)=f(n-1)+1+ f(n-1)=2*f(n-1)+1

5.对递归程序的优化的一般的手段为`尾递归优化`

常见的优化手段有尾递归，迭代，循环

尾递归：在每一次递归的过程中保持了上一次计算的状态，也就是“线性迭代过程”

尾递归和一般的递归不同在对内存的占用，普通递归创建stack累积而后计算收缩，尾递归只会占用恒量的内存（和迭代一样）

举个例子，计算n的阶乘

//线性递归long Rescuvie(long n) {return (n == 1) ? 1 : n * Rescuvie(n - 1);}//尾递归
long TailRescuvie(long n, long a) {return (n == 1) ? a : TailRescuvie(n - 1, a * n);}long TailRescuvie(long n) {//封装用的return (n == 0) ? 1 : TailRescuvie(n, 1);}