这个图形的体积有限,但表面积却是无穷大
这是一个有趣的悖论。我有一个无限高的空心物体。我可以用油漆填充对象,但是如果我尝试用该油漆覆盖表面,将远远不够。
考虑双曲线1/x
我们选择右侧部分(以避免x= 0处的不连续性)并绘制从x = 1开始的图。我们考虑虚线右侧,曲线下方和x上方的(无限)阴影区域
我们围绕x轴在3维上旋转该区域,最后得到一个(无限长的)类似角的对象
我们使用旋转体的体积公式(最基本的体积计算公式,一定要理解)
由此得到如下结果
随着b越来越大,答案中的最终分数也越来越小,因此体积为有限量π,用数学符号表示为:
接下来,让我们考虑喇叭的表面积,旋转体的表面积计算公式为:
在这种情况下,我们有:
如果我们考虑分数的值,当x变得非常大时,我们可以看到它会非常接近1 / x(但会比它大一点)
因此我们可以得出以下结论:
现在,随着b越来越大,这个数量也越来越大。即,它是无限大的数量。
这是我们的两个解决方案的图,粉红色是体积V =π(1-1 / b),绿色是表面积SA =2πln(b) 。我们可以看到体积趋向于极限(π),而表面积却不断增大。
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