算法分析与设计——蛮力法0/1背包
蛮力法0/1背包
蛮力法
蛮力法是一种简单直接解决问题的方法，常常直接基于问题的描述，所以蛮力法也是最容易应用的方法。
蛮力法所依赖 的基本技术是遍历，即采用一定的策略依次处理待求解问题的所有元素，从而找出问题的解。由于其需要依次穷举待处理的元素，因此蛮力法是一种典型的指数级时间算法。
问题
给定n个重量为{w1,w2,···,wn}、价值为{v1,v2,···,vn}的物品和一个容量为C的背包，0/1背包是一个求解这些物品中的一个最有价值的子集，并且能够装入到背包中。
应用实例
有n项可投资的项目，每个项目需要投入资金si，可获利润为vi，现有可用资金M，应选择那些项目来投资才能获得最大利润。
想法
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有重量不超过背包容量的子集，计算每个可能子集的总价值，然后找到价值最大的子集。例如，给定4个物品的重量为{7,3,4,5}，价值为{42,12,40,25}，和一个容量为10的背包，下表为求解的过程。
| 序号 | 子集 | 总重量 | 总价值 |
|---|---|---|---|
| 1 | ∅ | 0 | 0 |
| 2 | {1} | 7 | 42 |
| 3 | {2} | 3 | 12 |
| 4 | {3} | 4 | 40 |
| 5 | {4} | 5 | 25 |
| 6 | {1,2} | 10 | 54 |
| 7 | {1,3} | 11 | 不可行 |
| 8 | {1,4} | 12 | 不可行 |
| 9 | {2,3} | 7 | 52 |
| 10 | {2,4} | 8 | 37 |
| 11 | {3,4} | 9 | 65 |
| 12 | {1,2,3} | 14 | 不可行 |
| 13 | {1,2,4} | 15 | 不可行 |
| 14 | {1,3,4} | 16 | 不可行 |
| 15 | {2,3,4} | 12 | 不可行 |
| 16 | {1,2,3,4} | 19 | 不可行 |
伪代码
输入：重量{w1,w2,···,wn}，价值{v1,v2,···,vn}，容量C
输出：装入背包的物品编号
- 初始化最大价值maxValue=0；结果子集S=∅；
- 对集合{1,2,···,n}的每一个子集T，执行如下操作：
2.1 初始化背包的价值value=0；背包的重量weight=0；
2.2 对子集T的每一个元素j
2.2.1 如果weight+wj＜C，则weight=weight+wj；value=value+vj；
2.2.2 否则，转入步骤2考察下一个子集；
2.3 如果maxValue＜value，则maxValue=value；S=T； - 输出S中的各元素；
源代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
//用于计算程序运算时间
#include<ctime>using namespace std;#define N 100struct goods{int sign;//物品序号
int wight;//物品重量
int value;//物品价值
};int n, maxValue, cv, cw, C;//物品数量，价值最大，当前价值，当前重量，背包容量
int X[N],cx[N];//最终存储状态，当前存储状态
struct goods goods[N];int Force(int i)
{if(i > n-1){if(maxValue < cv && cw + goods[i].wight <= C){for(int k = 0;k < n;k++)X[k] = cx[k];//存储最优路径maxValue = cv;}return maxValue;}cw = cw + goods[i].wight;cv = cv + goods[i].value;cx[i] = 1;//装入背包Force(i+1);cw = cw-goods[i].wight;cv = cv-goods[i].value;cx[i] = 0;//不装入背包Force(i+1);return maxValue;
}int main()
{clock_t starttime,finish; //用于计算时间double time;starttime=clock();//用于计算程序运行时间printf("物品种类n：");scanf("%d",&n);printf("背包容量C：");scanf("%d",&C);for(int i = 0; i < n; i++){printf("物品%d的重量w[%d]及其价值v[%d]：",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&goods[i].wight,&goods[i].value);}int sum1 = Force(0);printf("蛮力法求解0/1背包问题：\nX=[");for(int i = 0; i < n; i++){cout << X[i]<<" ";}printf("] 装入总价值%d\n",sum1);finish=clock();time = (double)(finish-starttime)/1000;//时间单位为秒starttime=clock();//用于计算程序运行时间cout<<"time is:"<<time<<endl;return 0;
}
算法分析
对于一个具有n个元素的集合，其子集数量是2n，所以无论生成子集的算法效率有多高，蛮力法求解0/1背包都会是一个Ω(2n)的算法。
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