算法导论 van Emde Boas 树

结构
1. vEB(u)表示全域值为{0,1,2,…,u-1} vEB 树
2. min 表示 vEB 树中最小值,该值元素不出现在任何递归的子树(簇) vEB(u↓\sqrt[\downarrow]{u}↓u)中
3. max 表示 vEB 树中最大值
4. summary 指向 vEB(u↑\sqrt[\uparrow]{u}↑u)新的树，summary[i]表示子树 cluster[i]的逻辑或
5. cluster[0…u↑\sqrt[\uparrow]{u}↑u－1]表示u↑\sqrt[\uparrow]{u}↑u个簇数组，每个数组元素的结构为递归子树结构 vEB(u↓\sqrt[\downarrow]{u}↓u)
6. 任意全域值 x,0<=x<u;
  1. high(x)=x/u↓\sqrt[\downarrow]{u}↓u ;表示 x 所在的簇号
  2. low(x)=x mod u↓\sqrt[\downarrow]{u}↓u; 表示 x 在簇号中的位置
  3. index(x,y) = x u↓\sqrt[\downarrow]{u}↓u + y; 根据簇号及簇号在的位置得到一个元素值
操作
1. 插入(V 树 insert 插入 x 值）
  1. 如果 V 树是空的，则将 V.min = V.max = x;结束
  2. 如果 x<V.min，则将 x 与 V.min 交换，继续插入 x(值为旧的 V.min)
  3. 如果 V.u >2
    1. 找到 x 对应的簇 high(x),所在簇的位置 low(x)，x 对应的子树即为 V.cluster[high(x)]
    2. 如果子树为空，则 V.cluster.min = V.cluster.max = x;V.summary 也要插入 high(x)
    3. 如果子树不为空，则递归插入到子树中。（summary 信息不用更新因为子树已经存在）
  4. 如果 x>V.max，则将 V.max = x;
2. 是否存在(member)
  1. 先判断 V.min=x 或者 V.max=x,则返回 true
  2. 如果 V.u=2;则返回 false
  3. 否则递归查找子树 V.cluster[high(x)]中的位置 low(x)
3. 后继(successor)
  1. 如果 V.u = 2;
    1. x=0 ,V.max = 1,则返回 1
    2. 否则返回 null
  2. 如果 x < V.min,则返回 V.min
  3. 找到 x 对应的子树 V.cluster[high(x)]及子树中的位置 low(x)
    1. x 小于子树的最大值，则直接在子树中查找
    2. 否则在 V.summary 中找出 x 对应的后续簇，在后续簇对应的子树中查找
4. 前驱(predecessor)
  1. 如果 V.u = 2
    1. 如果 x=1,V.min=0,则返回 0
    2. 否则返回 null
  2. 如果 x > V.max，则返回 V.max
  3. 找到 x 对应的子树 V.cluster[high(x)]及子树中的位置 low(x)
    1. 如果 x 大于子树中的最小值，则在子树中找
    2. 否则在 V.summary 中找 x 对应的前驱簇，
      1. 如果前驱簇为 null 且 x>V.min，则返回 V.min
      2. 如果前驱簇不为 null，则直接在前驱簇对应的子树中查找最大值
5. 删除(delete)
  1. 如果树只有一个元素，则直接将 V.min=V.max = null
  2. 如果树有两个元素，
    1. 如果被删除 x == 0 ,则 V.min = V.max = 1
    2. 否则 V.min = V.max = 0
  3. 树包含两个以上元素
    1. 如果 x = V.min，则将 V.min 改为 x 所在簇的最小值,x 也修改为此值
    2. V.cluster[high(x)]递归删除 x
    3. 如果 V.cluster[high(x)].min = null，则将 V.summary[high(x)]也要删除;如果 V.max = x,则要重新找到 V.cluster 中最大值，并赋给 V.max
    4. 如果 V.max = x,则要同时更新 V.max ＝ V.cluster[high(x)].max
源代码

1.https://gitee.com/beimuaihui/LayaAir/blob/my_introduction_to_algorithms/src/samples/algorith/C20VEBTree.ts
运行结果

1.[运行结果]
参考
1. https://www.geeksforgeeks.org/van-emde-boas-tree-set-1-basics-and-construction/?ref=lbp

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