质点振动学

1-1质点振动系统的概念

集中参数系统：构成整个振动系统的质量块与弹簧，他们的运动状态都是均匀的。

1-2质点的自由振动

这个地方的胡克定律都是之前学的但是这本书用的字母会不太一样 $F_{K}=-Km\xi$

Km是弹性系数

Cm=1/Km是顺性系数

在分析问题的时候最重要的就是利用牛顿第二定律将问题的平衡条件方程化成

$\frac{d^2\xi }{d^2t}+\omega _{0}^{2}\xi =0$ 这种形式，名为质点的自由振动方程。其中 $\omega_{0}^{2}=\frac{K_{m}}{M_{m}}$ 角频率。

解自由振动方程的时候，认为其次二阶常微分方程的一般解为 $\xi =A\cos\omega _{0}t+B\sin \omega _{0}t$

A和B两个常数由初始条件来决定，其中里面的参数就不做多解释了，在大学物理中都有解释。

重点是系统的固有频率 $f_{0}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{Km}{Mm}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\xi _{st}}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{1}{MmCm}}$ 。由此可看出这是一个常数与系统自己本身的性质有关，降低固有频率：

（1）增加系统质量（2）减小弹性系数

系统总能量 $E=\frac{1}{2}M_{m}v_{a}^{2}$ 为一个常数

双弹簧连接情况：这里可以借鉴电路中电阻的串并联情况，与电阻的情况相反，与电导的情况相同。这里再推理的时候用到一个物理量叫静位移 $\xi _{st}$ ，就是在只有重力的条件下弹簧的伸长量。

串联等效弹性系数 $Km^{'}=\frac{K1mK2m}{K1m+K2m}$

并联 $Km^{''}=K1m+K2m$

在现实情况中一般弹簧不是理想情况，是具有质量的。

这里运用微分思想将弹簧分成无数小段，所以每一小段弹簧产生的位移 $d\xi =\frac{dx}{l}\xi$ 再利用动能定理算出每份小弹簧的动能，再以长度为自变量进行积分，积分长度为l，加上之前的物块总能量为 $const=\frac{1}{2}(Mm+\frac{Ms}{3})v^{2}+\frac{1}{2}Km\xi ^{2}$ 其中把速度v用牛顿第二定律表示出来再代入式子中可以得到 $f_{0}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{Km}{Mm+Ms/3}}$ 显然在考虑了弹簧的质量之后，系统的固有频率降低。

因为振动问题是数学物理方程这门学科中被认为偏微分方程的，它也可以用欧拉公式换成复数来解，类似于电路。

1-3质点的衰减运动

考虑到阻力，小振动运动的阻力可以认为 $F_{R}=-Rm\frac{d\xi }{dt}$ Rm称为阻尼系数，之前的自由振动方程改写为 $Mm\frac{d^2\xi }{d^2t}+Rm\frac{d\xi }{dt}+Km\xi =0$ ，在为了解决方程引入一个新变量 $\delta =\frac{Rm}{2Mm}$ 叫他衰减系数于是方程变为 $\frac{d^2\xi }{d^2t}+2\delta\frac{d\xi }{dt}+\omega _{0}^{2}\xi =0$ 这个称为质点的衰减运动方程。设解为复数解， $\xi =e^{j\gamma t}$ ，将其代入方程后得出 $\gamma =\delta j\pm \sqrt{-\delta ^{2}+\omega_{0}^{2} }$ 及 $\xi =e^{-\delta t}(Ae^{j\omega _{0}^{'}t}+Be^{-j\omega _{0}^{'}t})$ 这个地方为了适应所用的情况以及后面求系统的能量的时候会用到把A和B这两个常数也设成了复数 $A=\frac{\xi _{0}}{2}e^{-j\varphi_{0} }$ $B=\frac{\xi _{0}}{2}e^{j\varphi_{0} }$ 最后得到 $\xi =A(t)\cos (\omega _{0}^{'}t-\varphi _{0})$ 其中 $A(t)=\xi _{0}e^{-\delta t}$

具体过程如下

把衰减到振幅的1/e倍的时间称为衰减模量 $\tau =\frac{1}{\delta }=\frac{2Mm}{Rm}$

得到了一个推论：第一次与第i次的振幅比为 $\eta i=\frac{A1}{Ai}=(e^{\delta T})^{i-1}$

衰减振动的能量用通式然后往里带 $E=\frac{1}{2}Km\xi ^{2}+\frac{1}{2}M_{m}v^{2}$

反正这个我也不想知道怎么算出来的。。。。。。

1-4质点的强迫运动

跟之前的每一节一样都会加一个新的力，这节加的是强迫力，也就是一种能用数学式子表示出来的外力之一， $F_{F}=F_{a}\cos \omega t$

再按照之前的套路把方程改一下就变成了 $Mm\frac{d^2\xi }{d^2t}+Rm\frac{d\xi }{dt}+Km\xi =F_{a}\cos \omega t$

我们再化成通用的复数形式 $Mm\frac{d^2\xi }{d^2t}+Rm\frac{d\xi }{dt}+Km\xi =F_{a}e^{j\omega t}$ 变成质点强迫振动方程

解方程时设 $\xi 1=\xi _{F}e^{j\omega t}$ 代入方程得到解为

$\xi _{F}=\frac{-jF_{a}}{\omega Z_{m}}$

式子中 $Z_{m}=Rm+jXm$ 称为系统的力阻抗，Rm叫力阻。 $X_{m}=(\omega Mm-\frac{Km}{\omega })$ 为力抗，这里可以类比电路里的电阻和电抗。

由（1-4-7）得到（1-4-8）过程：

这个方程就是在之前衰减振动的方程上加了一个强迫项，如此根据之前的解再加上一个强迫项

第一项为瞬态解，第二项为稳态解，可直接根据字面意思理解。

书上引入了一个新的物理量力学品质因数 $Qm=\frac{\omega _{0}Mm}{Rm}$

A： Qm> $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时曲线在z=zr处有峰值系统才会共振，

书上对于A,B,C三个方向进行了分析都是为了得到三个结论

B：如果用 $\Delta f/f_{0}$ 来表示系统共振频带的宽度，那么其带宽正好等于品质因素Qm的倒数。

C：Qm越大加速度共振峰越高。

三个曲线都是Qm越大，共振峰越高且尖。

一个周期的平均损耗功率为 $\overline{W_{R}}=-\frac{1}{2}Rmv_{a}^{2}$

电声器件的工作有三个控制区：质量，弹性，力阻书上概念直接看就行。

1-5周期里的强迫振动

本节里加入了周期力，需要用到傅里叶级数。这个位置可以去看一下数学物理方程这门学科或高等数学再复习一下。同样是写出振动方程 $Mm\frac{d^2\xi }{d^2t}+Rm\frac{d\xi }{dt}+Km\xi =F_{F}(t)$

其中

解法跟前面一样先是把

$F_{F}(t)=\Sigma F_{n}e^{j(n\omega t-\varphi _{n})}$ 换成复数形式带入其中

$\xi =\Sigma \xi _{n}$

即可得到与之前相类似的力的阻抗形式

南京大学声学基础（第三版）杜功焕第一章相关推荐

数字图像处理第三版（冈萨雷斯）——第一章绪论
数字图像处理第三版(冈萨雷斯)--第一章绪论一.主要目的二.关于什么是数字图像处理的几个重要概念 2.1 强度或灰度: 2.2 数字图像: 2.3 数字图像处理: 2.4 像素: 2.5 低级.中 ...
矩阵笔记1:矩阵分析(第三版)-史荣昌-第一章:线性空间和线性变换
文章目录 0 笔记说明 1 书本内容 1.1 线性空间 1.2 基与坐标.坐标变换 1.3 线性子空间 1.4 线性映射 1.5 线性映射的值域.核 1.6 线性变换的矩阵与线性变换的运算 1.7 n ...
C语言程序设计教程（第三版）李凤霞第一章课后习题答案
第一章:程序设计基础知识一. 单项选择题 1.面向过程的程序设计语言是________. A)机器语言 B)汇编语言 C)高级语言 D)第四代语言 2.程序设计一般包含以下四个步骤,其中其中首先应该 ...
R语言实战（第三版）学习笔记-第一章
第一章 x <- rnorm(5) 创建一个名为 x 的向量对象,该对象包含五个偏离标准正态分布的随机值. > age <- c(1,3,5,2,11,9,3,9,12,3) > ...
南京大学声学基础（第三版）杜功焕第二章（未完结）
弹性体振动学分布参数系统:有不少振动系统质量在空间有一部分联系,并且空间中某物体一部分的质量本身还包含着弹性和阻尼振动. 具有分布参数系统的物体叫弹性体:本章弦,棒,膜,板. 2-1弦的振动寻找弦 ...
【读书笔记】周志华《机器学习》第三版课后习题讨第一章-绪论
虽然是绪论..但是...真的有点难!不管怎么说,一点点前进吧... 声明一下答案不一定正确,仅供参考,为本人的作答,希望大神们能多多指教~ 1.1 表1.1中若只包含编号为1和4的两个样例,试给出相应 ...
研究生考试之计算机网络第七版(谢希仁) 第一章课后答案
研究生考试之计算机网络第七版(谢希仁) 第一章课后答案目录研究生考试之计算机网络第七版(谢希仁) 第一章课后答案一.简单介绍二.计算机网络第七版(谢希仁) 第一章课后答案 1. ...
PMBOK(第六版) 学习笔记 ——《第一章引论》
系列文章目录 PMBOK(第六版) 学习笔记 --<第一章引论> PMBOK(第六版) 学习笔记 --<第二章项目运行环境> PMBOK(第六版) 学习笔记 --<第 ...
《Python核心编程》第二版第18页第一章练习 -Python核心编程答案-自己做的-
<Python核心编程>第二版第18页第一章练习这里列出的答案不是来自官方资源,是我自己做的练习,可能有误. 1.9 练习 1-1. 安装Python.请检查Python是否已经安装到你 ...

南京大学声学基础（第三版）杜功焕第一章