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题目

题目描述

Zxr960115 is owner of a large farm. He feeds mmm cute cats and employs ppp feeders. There’s a straight road across the farm and nnn hills along the road, numbered from 1 to nnn from left to right. The distance between hill iii and (i−1)(i-1)(i−1) is did_{i}di meters. The feeders live in hill 1.

One day, the cats went out to play. Cat iii went on a trip to hill hih_{i}hi , finished its trip at time tit_{i}ti , and then waited at hill hih_{i}hi for a feeder. The feeders must take all the cats. Each feeder goes straightly from hill 1 to nnn without waiting at a hill and takes all the waiting cats at each hill away. Feeders walk at a speed of 1 meter per unit time and are strong enough to take as many cats as they want.

For example, suppose we have two hills (d2=1)(d_{2}=1)(d2=1) and one cat that finished its trip at time 3 at hill 2 (h1=2)(h_{1}=2)(h1=2) . Then if the feeder leaves hill 1 at time 2 or at time 3, he can take this cat, but if he leaves hill 1 at time 1 he can’t take it. If the feeder leaves hill 1 at time 2, the cat waits him for 0 time units, if the feeder leaves hill 1 at time 3, the cat waits him for 1 time units.

Your task is to schedule the time leaving from hill 1 for each feeder so that the sum of the waiting time of all cats is minimized.

输入格式

The first line of the input contains three integers n,m,pn,m,pn,m,p (2≤n≤105,1≤m≤105,1≤p≤100)(2 \le n\le 10^5,1 \le m \le 10^5, 1\le p \le 100)(2≤n≤105,1≤m≤105,1≤p≤100).

The second line contains n−1n-1n−1 positive integers d2,d3,...,dnd_{2},d_{3},...,d_{n}d2,d3,...,dn (1≤di<104).(1 \le d_{i} < 10^{4}) .(1≤di<104).

Each of the next mmm lines contains two integers hih_ihi and tit_iti (1≤hi≤n,0≤ti≤109)(1 \le h_i \le n,0 \le t_i \le 10^9)(1≤hi≤n,0≤ti≤109).

输出格式

Output an integer, the minimum sum of waiting time of all cats.

Please, do not write the %lld specifier to read or write 64-bit integers in С++. It is preferred to use the cin, cout streams or the %I64d specifier.

题意翻译

Zxr960115 是一个大农场主。

他养了 mmm 只可爱的猫子,雇佣了 ppp 个铲屎官。这里有一条又直又长的道路穿过了农场，有 nnn 个山丘坐落在道路周围，编号自左往右从 111 到 nnn。山丘 iii 与山丘 i−1i-1i−1 的距离是 DiD_iDi 米。铲屎官们住在 111 号山丘。

一天，猫子们外出玩耍。猫子 iii 去山丘 HiH_iHi 游玩，在 TiT_iTi 时间结束他的游玩，然后在山丘 HiH_iHi 傻等铲屎官。铲屎官们必须把所有的猫子带上。每个铲屎官直接从 H1H_1H1 走到 HnH_nHn，中间不停下，可以认为不花费时间的把游玩结束的猫子带上。每个铲屎官的速度为一米每单位时间，并且足够强壮来带上任意数量的猫子。

举个栗子，假装我们有两个山丘( D2=1D_2=1D2=1 )，有一只猫子，他想去山丘 222 玩到时间 333。然后铲屎官如果在时间 222 或者时间 333 从 111 号山丘出发，他就能抱走猫子。如果他在时间 111 出发那么就不行(猫子还在玩耍)。如果铲屎官在时间 222 出发，猫子就不用等他（ΔT=0\Delta T=0ΔT=0）。如果他在时间 333 出发，猫子就要等他 111 个单位时间。

你的任务是安排每个铲屎官出发的时间(可以从 0 时刻之前出发），最小化猫子们等待的时间之和。

对于全部的数据，满足 2≤n≤1052\le n\le10^52≤n≤105，1≤m≤1051\le m\le10^51≤m≤105，1≤p≤1001\le p\le1001≤p≤100，1≤Di<1041\le D_i<10^41≤Di<104，1≤Hi≤n1\le H_i\le n1≤Hi≤n，0≤t≤1090\le t\le10^90≤t≤109。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

题解

对于这道题，我们应该很容易能想出纯暴力的解法。

首先对每只猫有影响的只有多久从第一个山丘出发能刚好接到他，所以先把所有的山丘的距离和猫的玩耍时间都转化为多久去接猫。

3pts

至于纯暴力解法当然是直接深搜每一个人的出发时间找到猫咪等待总时间的最小值。但有些情况是完全没有必要枚举的，比如当一个人出去却不能恰好接到任何一只猫时，因为他完全可以早一点出去，恰好接到一些猫，这时他接到的猫和之前是完全一样的，而且还可以让那一群猫少等一段时间。

100pts

毕竟纯暴力只能得三分，我们还是废话少说，直接上正解。

深搜当然是行不通的，我们可以先考虑一下dp转移：
为了方便书写，我先重新定义几个数组：did_idi表示第iii个山丘距离第111个山丘的距离；xi=ti−dix_i=t_i-d_ixi=ti−di，即恰好接到第iii只猫需要从第111个山丘出发的时间；si=Σj=1ixjs_i=\Sigma_{j=1}^{i}x_jsi=Σj=1ixj，即sss维护xxx的前缀和。

fi,j=mink=1j−1(fi−1,k+Σl=k+1j(xj−xl)f_{i,j}=min_{k=1}^{j-1}(f_{i-1,k}+\Sigma_{l=k+1}^j(x_j-x_l)fi,j=mink=1j−1(fi−1,k+Σl=k+1j(xj−xl)

我们暂且忽略一下取最小值的步骤，然后来转化一下这个转移方程：

fi,j=fi−1,k+(j−k)×xj−sj+skf_{i,j}=f_{i-1,k}+(j-k)\times x_j-s_j+s_kfi,j=fi−1,k+(j−k)×xj−sj+sk
fi,j=fi−1,k+j×xj−k×xj+sk−sjf_{i,j}=f_{i-1,k}+j\times x_j-k\times x_j+s_k-s_jfi,j=fi−1,k+j×xj−k×xj+sk−sj
我们再将所有与kkk有关的式子移到等号左边，所有其他式子移到等号右边：
fi−1,k+sk=xj×k+sj+fi,j−j×xjf_{i-1,k}+s_k=x_j\times k+s_j+f_{i,j}-j\times x_jfi−1,k+sk=xj×k+sj+fi,j−j×xj
然后我们可以代入y=kx+by=kx+by=kx+b:

yyy	kkk	xxx	bbb
fi−1,k+skf_{i-1,k}+s_kfi−1,k+sk	xjx_jxj	kkk	sj+fi,j−j×xjs_j+f_{i,j}-j\times x_jsj+fi,j−j×xj

斜率的单调性应该不用证明了吧，就xjx_jxj直接排序以后往里面加，就显然单调了嘛。

然后我们用单调栈维护一个凸包，这个凸包满足两个性质，首先一定是凸包的斜率单调性，然后是凸包的最左边的斜率被xjx_jxj访问过以后就可以删掉，因为xjx_jxj单增，所以这条线与凸包的切点一定不在上一条线的左边，我们在下一次搜的时候就可以不用考虑前面的点了。在这种情况下，每个kkk只会被访问一遍，于是效率就可以降成O(pm)O(pm)O(pm)了。

代码实现

3pts

//洛谷 CF311B Cats Transport
#pragma GCC optimize(3)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,p;
int d[100010];//与1的距离
int h[100010],t[100010];
int x[100010];//t-d
int s[100010];//离散化
int cnt;
int y[100010];//前缀和
int z[100010];//前缀和的前缀和
int id;
int a[100010];void re(int &x){int nt;x=0;while(!isdigit(nt=getchar()));x=nt^'0';while(isdigit(nt=getchar())){x=(x<<3)+(x<<1)+(nt^'0');}
}long long dfs(int w,int j){a[j]=w;if(j==p||w==1){long long ans=z[a[j]];for(int i=j-1;i>=1;--i){ans+=z[a[i]]-(s[a[i]]-s[a[i+1]])*y[a[i+1]];}return ans;}long long ans=1e18;for(int i=w-1;i>=1;--i){ans=min(ans,dfs(i,j+1));}return ans;
}int main(){register int i;re(n),re(m),re(p);for(i=2;i<=n;++i){re(d[i]);d[i]+=d[i-1];}for(i=1;i<=m;++i){re(h[i]),re(t[i]);s[i]=x[i]=t[i]-d[h[i]];}sort(s+1,s+m+1);cnt=unique(s+1,s+m+1)-s-1;for(i=1;i<=m;++i){id=lower_bound(s+1,s+cnt+1,x[i])-s;++y[id];}for(i=1;i<=cnt;++i){y[i]+=y[i-1];z[i]=z[i-1]+y[i-1]*(s[i]-s[i-1]);}printf("%lld\n",dfs(cnt,1));return 0;
}

100pts

//洛谷 CF311B Cats Transport
#pragma GCC optimize(3)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
long long n,m,p;
long long d[100010];//与1的距离
long long h,t;
long long x[100010];//t-d
long long s[100010];//x的前缀和
int q[100010];//单调队列
long long f[150][100010];
int head,tail;void re(long long &x){int nt;x=0;while(!isdigit(nt=getchar()));x=nt^'0';while(isdigit(nt=getchar())){x=(x<<3)+(x<<1)+(nt^'0');}
}int main(){register int i,j;re(n),re(m),re(p);for(i=2;i<=n;++i){re(d[i]);d[i]+=d[i-1];}for(i=1;i<=m;++i){re(h),re(t);x[i]=t-d[h];}sort(x+1,x+1+m);memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));for(i=1;i<=m;++i){s[i]=s[i-1]+x[i];}f[0][0]=0;for(i=1;i<=p;++i){head=1;tail=1;q[1]=0;for(j=1;j<=m;++j){while(head<tail&&1ll*f[i-1][q[head+1]]+s[q[head+1]]-f[i-1][q[head]]-s[q[head]]<=1ll*x[j]*(q[head+1]-q[head])){++head;}f[i][j]=f[i-1][q[head]]+(j-q[head])*x[j]+s[q[head]]-s[j];while(head<tail&&1ll*(f[i-1][j]+s[j]-f[i-1][q[tail]]-s[q[tail]])*(q[tail]-q[tail-1])<=1ll*(f[i-1][q[tail]]+s[q[tail]]-f[i-1][q[tail-1]]-s[q[tail-1]])*(j-q[tail])){--tail;}q[++tail]=j;}}printf("%lld\n",f[p][m]);return 0;
}

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