UOJ#328. 【UTR #3】量子破碎

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学过 FWTFWTFWT 看到操作 222 不难可以联想到 FWTFWTFWT
考虑一遍 ⊕\oplus⊕ FWTFWTFWT 会把 ata_tat 变成什么
at′=((−1)bitcount(x&t)+(−1)bitcount(y&t))axa_t'=((-1)^{bitcount(x\&t)}+(-1)^{bitcount(y\&t)})a_xat′=((−1)bitcount(x&t)+(−1)bitcount(y&t))ax
考虑这个东西 (−1)bitcount(x&t)+(−1)bitcount(y&t)(-1)^{bitcount(x\&t)}+(-1)^{bitcount(y\&t)}(−1)bitcount(x&t)+(−1)bitcount(y&t)
当 bitcount(x&t)bitcount(x\&t)bitcount(x&t) 和 bitcount(y&t)bitcount(y\&t)bitcount(y&t) 同奇偶时才有值
实际上就是 bitcount((x⊕y)&t)bitcount((x\oplus y)\&t)bitcount((x⊕y)&t) 为偶数
而只需要知道互不相关的 nnn 个 ttt 就可以解出 x⊕yx\oplus yx⊕y
并且题目又是随机的，那么期望做 O(n)O(n)O(n) 遍，询问次数期望 O(n2)O(n^2)O(n2)
一个小细节，FWTFWTFWT 矩阵为 A=(111−1)A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}A=(111−1)，这玩意儿并不满足 AAT=IAA^T=IAAT=I
但是它满足 AAT(120012)=IAA^T\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}=IAAT(210021)=I
所以只要令 A=(121212−12)A=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}A=(212121−21) 就好了

# include "quantumbreak.h"
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;const double sq(1.0 / sqrt(2));static vector <int> zero;
static double A[2][2];
static int cnt[1 << 20];inline int Check(int v, int n) {int i;for (i = 0; i < zero.size(); ++i) if (cnt[v & zero[i]] & 1) return 0;return 1;
}int query_xor(int n, int t) {int i, j, s = 1 << n, flg = 0;memset(cnt, 0, sizeof(cnt)), zero.clear();A[1][1] = -sq, A[0][0] = A[0][1] = A[1][0] = sq;for (i = 0; i < s; ++i) cnt[i] = cnt[i >> 1] + (i & 1);for (i = 1; i <= 23; ++i) {for (j = 0; j < n; ++j) manipulate(A, j);zero.push_back(query());}for (i = 1; i < s; ++i) if (Check(i, n)) return i;return 233;
}

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