随机变量的特征函数及应用

前言
1 特征函数定义
2 特征函数常用性质
3 常见分布特征函数求解
- 3.1 两点分布
- 3.2 二项分布
- 3.3 泊松分布
- 3.4 正态分布
- 3.5 几何分布
- 3.6 均匀分布
- 3.7 柯西分布
- 3.8 指数分布
- 3.9 伽马分布
- 3.10 拉普拉斯分布
4 随机变量均值和方差求解
- 4.1 两点分布的均值和方差
- 4.2 二项分布的均值和方差
- 4.3 泊松分布的均值和方差
- 4.4 正态分布的均值和方差
- 4.5 几何分布的均值和方差
- 4.6 均匀分布的均值和方差
- 4.7 柯西分布的均值和方差
- 4.8 指数分布的均值和方差
- 4.9 伽马分布的均值和方差
- 4.10 拉普拉斯分布的均值和方差

前言

本文将对常见随机变量如泊松分布、正态分布、二项分布、均匀分布、柯西分布等分布的特征函数的定义、求解，特征函数和随机变量各阶矩之间的关系及其应用作以介绍，通过特征函数求解部分随机变量的均值和方差将变得较为简便。

1 特征函数定义

对于随机变量 X {X} X ，若其分布函数为 F X ( x ) {F_X(x)} FX(x)，则其特征函数定义为：

φ ( t ) = φ X ( t ) = E e j t X = ∫ − ∞ ∞ e j t x d F X ( x ) { \varphi(t) = \varphi_X(t) = Ee^{jtX} = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{jtx}} {\rm{d}}F_X(x)} φ(t)=φX(t)=EejtX=∫−∞∞ejtxdFX(x)

其中， E {E} E 代表数学期望， t {t} t 为实数， j {j} j 为虚数单位，显然特征函数为 t {t} t 的复值函数。且由于：

∣ φ ( t ) ∣ = ∣ ∫ − ∞ ∞ e j t x d F X ( x ) ∣ ≤ ∫ − ∞ ∞ ∣ e j t x ∣ d F X ( x ) = 1 { \left| {\varphi(t)} \right| = \left| {\int_{-\infty}^{\infty}{e^{jtx}} {\rm{d}} F_X(x)} \right| \leq {\int_{-\infty}^{\infty} \left|{e^{jtx}}\right| {\rm{d}}F_X(x)} = 1 } ∣φ(t)∣=∣∣∣∣∫−∞∞ejtxdFX(x)∣∣∣∣≤∫−∞∞∣∣ejtx∣∣dFX(x)=1

因此随机变量的特征函数总是存在的；且如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布，反之如果两个随机变量具有相同的概率分布，它们的特征函数也相同。

如果随机变量为连续性随机变量，且其概率密度函数为 f ( x ) {f(x)} f(x) ，则特征函数可表示为：

φ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e j t x f ( x ) d x { \varphi(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{jtx}}f(x) {\rm{d}} x } φ(t)=∫−∞∞ejtxf(x)dx

如果随机变量为离散型随机变量，且其分布列为 p ( x i ) {p(x_i)} p(xi) ，则特征函数可表示为：

φ ( t ) = ∑ i = 1 ∞ e j t x p ( x i ) { \varphi(t) = \sum_{i=1}^{\infty} e^{jtx} p({x_i})} φ(t)=i=1∑∞ejtxp(xi)

2 特征函数常用性质

特征函数常用性质如下：

(1) φ ( 0 ) = 1 , φ ( t ) ≤ φ ( 0 ) , φ ( − t ) = φ ˉ ( t ) \varphi(0) = 1 , \varphi(t) \leq \varphi(0) , \varphi(-t) = \bar{\varphi}(t) φ(0)=1,φ(t)≤φ(0),φ(−t)=φˉ(t)

(2) 若 Y = a X + b Y=aX+b Y=aX+b ，则：

φ Y ( t ) = e j b t φ X ( a t ) { \varphi_Y(t) = e^{jbt} \varphi_X(at)} φY(t)=ejbtφX(at)

(3) 若 X X X 与 Y Y Y 相互独立，且 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y ，则：

φ Z ( t ) = φ X ( t ) φ Y ( t ) { \varphi_Z(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t)} φZ(t)=φX(t)φY(t)

(4) 若随机变量 X X X 具有 n n n 阶矩，则其特征函数 n n n 阶可导，且当 0 ≤ k ≤ n 0 \leq k \leq n 0≤k≤n 时，有：

φ ( k ) ( 0 ) = j k E X k { \varphi^{(k)}(0) = j^{k}EX^{k} } φ(k)(0)=jkEXk

此条性质可用于求解随机变量的各阶矩(若存在)，有时可以避免进行复杂的无穷积分。

3 常见分布特征函数求解

常见分布的特征函数总结如下：

分布特征函数两点分布 p e j t + q 二项分布 ( p e j t + q ) n 泊松分布 e λ ( e j t − 1 ) 正态分布 e j μ t − σ 2 t 2 2 几何分布 p e j t 1 − q e j t 均匀分布 e j t b − e j t a j t ( b − a ) 柯西分布 e j t a − ∣ λ t ∣ 指数分布 λ ( λ − j t ) 伽马分布 ( λ λ − j t ) r 拉普拉斯分布 e j μ t 1 + λ 2 t 2 \begin{array}{|c|c|} \hline \text { 分布 } & \text { 特征函数 } \\ \hline \text { 两点分布 } & p e^{j t}+q \\ \hline \text { 二项分布 } & \left(p e^{j t}+q\right)^{n} \\ \hline \text { 泊松分布 } & e^{\lambda\left(e^{j t}-1\right)} \\ \hline \text { 正态分布 } & e^{j \mu t-\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}} \\ \hline \text { 几何分布 } & \frac{p e^{j t}}{1-q e^{j t}} \\ \hline \text { 均匀分布 } & \frac{e^{j t b}-e^{j t a}}{j t(b-a)} \\ \hline \text { 柯西分布 } & e^{j t a- \mid\lambda t \mid} \\ \hline \text { 指数分布 } & \frac{\lambda}{(\lambda-j t)} \\ \hline \text { 伽马分布 } & \left(\frac{\lambda}{\lambda-j t}\right)^{r} \\ \hline \text { 拉普拉斯分布 } & \frac{e^{j \mu t}}{1+\lambda^{2} t^{2}} \\ \hline \end{array} \\ 分布两点分布二项分布泊松分布正态分布几何分布均匀分布柯西分布指数分布伽马分布拉普拉斯分布特征函数 pejt+q(pejt+q)neλ(ejt−1)ejμt−2σ2t21−qejtpejtjt(b−a)ejtb−ejtaejta−∣λt∣(λ−jt)λ(λ−jtλ)r1+λ2t2ejμt

3.1 两点分布

两点分布的分布律为：

P ( X = 1 ) = p ( 0 < p < 1 ) , P ( X = 0 ) = q { P(X=1) = p(0<p<1) , P(X=0) = q } P(X=1)=p(0<p<1),P(X=0)=q

根据特征函数定义，其特征函数求解如下：

φ ( t ) = e j t ⋅ 1 p + e j t ⋅ 0 q = p e j t + q { \varphi(t) = e^{jt\cdot1}p + e^{jt\cdot0}q = pe^{jt} + q } φ(t)=ejt⋅1p+ejt⋅0q=pejt+q

3.2 二项分布

二项分布的分布律为：

P ( X = k ) = C n k p k q n − k ( 0 < p < 1 ; k = 0 , 1 , . . . , n ) { P(X=k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} (0<p<1;k=0,1,...,n)} P(X=k)=Cnkpkqn−k(0<p<1;k=0,1,...,n)

根据特征函数定义，其特征函数求解如下：

φ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ e j t k C n k p k q n − k = ∑ k = 0 ∞ C n k ( p e j t ) k q n − k = ( p e j t + q ) n { \varphi(t) = \sum_{k=0}^{\infty} e^{jtk} C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} = \sum_{k=0}^{\infty} C_{n}^{k} {(pe^{jt})}^{k} q^{n-k} = {(pe^{jt} + q)}^{n} } φ(t)=k=0∑∞ejtkCnkpkqn−k=k=0∑∞Cnk(pejt)kqn−k=(pejt+q)n

3.3 泊松分布

泊松分布的分布律为：

P ( X = k ) = λ k k ! e − λ ( λ > 0 ; k = 0 , 1 , 2 , . . . ) { P(X=k) =\frac{\lambda^{k}}{{k!}} e^{-\lambda}(\lambda>0;k=0,1,2,...) } P(X=k)=k!λke−λ(λ>0;k=0,1,2,...)

根据特征函数定义，其特征函数求解如下：

φ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ e j t k λ k k ! e − λ = ∑ k = 0 ∞ ( λ e j t ) k k ! e − λ = e λ ( e j t − 1 ) {\varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infty} e^{j t k} \frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\lambda e^{j t}\right)^{k}}{k !} e^{-\lambda}=e^{\lambda\left(e^{j t}-1\right)} } φ(t)=k=0∑∞ejtkk!λke−λ=k=0∑∞k!(λejt)ke−λ=eλ(ejt−1)

3.4 正态分布

正态分布的概率密度函数为：

f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 , σ > 0 {f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2}}, \sigma>0 } f(x)=2π σ1e−2(x−μ)2,σ>0

下面首先计算标准正态分布的特征函数，根据特征函数定义，标准正态分布的特征函数为：

φ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e j t x 1 2 π e − x 2 2 d x = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − ( x − j t ) 2 2 − t 2 2 d x = e − t 2 2 ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − ( x − j t ) 2 2 d x = e − t 2 2 {\begin{aligned} \varphi(t) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{j t x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-j t)^{2}}{2}-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} x \\ &=e^{-\frac{t^{2}}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-j t)^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=e^{-\frac{t^{2}}{2}} \end{aligned} } φ(t)=∫−∞∞ejtx2π 1e−2x2 dx=∫−∞∞2π 1e−2(x−jt)2−2t2 dx=e−2t2∫−∞∞2π 1e−2(x−jt)2 dx=e−2t2

其中 1 2 π e − ( x − j t ) 2 2 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-j t)^{2}}{2}} 2π 1e−2(x−jt)2 可以看作一服从均值为 j t jt jt ，标准差为 1 1 1 的正态分布的概率密度函数，因此 ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − ( x − j t ) 2 2 d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-j t)^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=1 ∫−∞∞2π 1e−2(x−jt)2 dx=1 。

对于一般的正态分布，可通过变量替换与标准正态分布联系起来，即：

X ∼ N ( μ , σ 2 ) ⟶ Y = X − μ σ Y ∼ N ( 0 , 1 ) {X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \stackrel{Y=\frac{X-\mu}{\sigma}}{\longrightarrow} Y \sim N(0,1) } X∼N(μ,σ2)⟶Y=σX−μY∼N(0,1)

那么，由性质(2)可得正态分布的特征函数为：

φ ( t ) = φ X ( t ) = e j μ t φ Y ( σ t ) = e j μ t − σ 2 t 2 2 {\varphi(t)=\varphi_{X}(t)=e^{j \mu t} \varphi_{Y}(\sigma t)=e^{j \mu t-\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}}} φ(t)=φX(t)=ejμtφY(σt)=ejμt−2σ2t2

3.5 几何分布

几何分布的分布律为：

P ( X = k ) = p q k − 1 ( 0 < p < 1 ; k = 1 , 2 , … ) {P(X=k)=p q^{k-1}(0<p<1 ; k=1,2, \ldots)} P(X=k)=pqk−1(0<p<1;k=1,2,…)

根据特征函数定义，其特征函数求解如下：

φ ( t ) = ∑ k = 1 ∞ e j t k p q k − 1 = p q ∑ k = 1 ∞ ( q e j t ) k = p q q e j t 1 − q e j t = p e j t 1 − q e j t {\varphi(t)=\sum_{k=1}^{\infty} e^{j t k} p q^{k-1}=\frac{p}{q} \sum_{k=1}^{\infty}\left(q e^{j t}\right)^{k}=\frac{p}{q} \frac{q e^{j t}}{1-q e^{j t}}=\frac{p e^{j t}}{1-q e^{j t}}} φ(t)=k=1∑∞ejtkpqk−1=qpk=1∑∞(qejt)k=qp1−qejtqejt=1−qejtpejt

3.6 均匀分布

均匀分布的概率密度函数为：

f ( x ) = { 1 b − a a ≤ x ≤ b 0 x < a 或 x > b {f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & x<a \text { 或 } x>b \end{array}\right.} f(x)={b−a10a≤x≤bx<a 或 x>b

根据特征函数定义，其特征函数求解如下：

φ ( t ) = ∫ a b e j t x 1 b − a d x = 1 b − a e j t x j t ∣ a b = e j t b − e j t a j t ( b − a ) {\varphi(t)=\int_{a}^{b} e^{j t x} \frac{1}{b-a} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{b-a} \frac{e^{j t x}}{j t}\right|_{a} ^{b}=\frac{e^{j t b}-e^{j t a}}{j t(b-a)}} φ(t)=∫abejtxb−a1 dx=b−a1jtejtx∣∣∣∣ab=jt(b−a)ejtb−ejta

3.7 柯西分布

柯西分布的概率密度函数为：

f ( x ) = 1 π λ ( x − a ) 2 + λ 2 , λ > 0 {f(x)=\frac{1}{\pi} \frac{\lambda}{(x-a)^{2}+\lambda^{2}}, \lambda>0} f(x)=π1(x−a)2+λ2λ,λ>0

根据特征函数定义，其特征函数求解如下：

φ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e j t x 1 π λ ( x − a ) 2 + λ 2 d x = u = x − a λ ∫ − ∞ ∞ e j t ( λ u + a ) 1 π 1 u 2 + 1 d u = e j t a π ∫ − ∞ ∞ e j λ t u 1 u 2 + 1 d u = { e j t a π 2 π j lim ⁡ u → j [ ( u − j ) e j λ t u 1 u 2 + 1 ] ∣ u = j = e j t a − λ t λ t > 0 e j t a π 2 π j lim ⁡ m → j [ ( m − j ) e j ( − λ t ) m 1 m 2 + 1 ] ∣ m = j = e j t a + λ t λ t < 0 , m = − u = e j t a − ∣ λ t ∣ {\begin{aligned} \varphi(t) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{j t x} \frac{1}{\pi} \frac{\lambda}{(x-a)^{2}+\lambda^{2}} \mathrm{~d} x \stackrel{u=\frac{x-a}{\lambda}} {=}\int_{-\infty}^{\infty} e^{j t(\lambda u+a)} \frac{1}{\pi} \frac{1}{u^{2}+1} \mathrm{~d} u \\ &=\frac{e^{j t a}}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{j \lambda t u} \frac{1}{u^{2}+1} \mathrm{~d} u \\ &=\left\{\begin{array}{ll} \left.\frac{e^{j t a}}{\pi} 2 \pi j \lim _{u \rightarrow j}\left[(u-j) e^{j \lambda t u} \frac{1}{u^{2}+1}\right]\right|_{u=j}=e^{j t a-\lambda t} \quad \lambda t>0 \\ \left.\frac{e^{j t a}}{\pi} 2 \pi j \lim _{m \rightarrow j}\left[(m-j) e^{j(-\lambda t) m} \frac{1}{m^{2}+1}\right]\right|_{m=j}=e^{j t a+\lambda t} & \lambda t<0, m=-u \end{array}\right. \\ &=e^{j t a-|\lambda t|} \end{aligned} } φ(t)=∫−∞∞ejtxπ1(x−a)2+λ2λ dx=u=λx−a∫−∞∞ejt(λu+a)π1u2+11 du=πejta∫−∞∞ejλtuu2+11 du=⎩⎪⎨⎪⎧πejta2πjlimu→j[(u−j)ejλtuu2+11]∣∣∣u=j=ejta−λtλt>0πejta2πjlimm→j[(m−j)ej(−λt)mm2+11]∣∣∣m=j=ejta+λtλt<0,m=−u=ejta−∣λt∣

3.8 指数分布

指数分布的概率密度函数为：

f ( x ) = { λ e − λ x x > 0 0 x ≤ 0 , λ > 0 {f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & x>0 \\ 0 & x \leq 0 \end{array}, \lambda>0\right.} f(x)={λe−λx0x>0x≤0,λ>0

根据特征函数定义，其特征函数求解如下：

φ ( t ) = ∫ 0 ∞ e j t x λ e − λ x d x = λ e ( j t − λ ) x ( j t − λ ) ∣ 0 ∞ = λ ( λ − j t ) {\varphi(t)=\int_{0}^{\infty} e^{j t x} \lambda e^{-\lambda x} \mathrm{~d} x=\left.\lambda \frac{e^{(j t-\lambda) x}}{(j t-\lambda)}\right|_{0} ^{\infty}=\frac{\lambda}{(\lambda-j t)}} φ(t)=∫0∞ejtxλe−λx dx=λ(jt−λ)e(jt−λ)x∣∣∣∣0∞=(λ−jt)λ

3.9 伽马分布

伽马分布的概率密度函数为：

f ( x ) = { λ r Γ ( r ) x r − 1 e − λ x x > 0 0 x ≤ 0 , λ > 0 ; r > 0 {f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x} & x>0 \\ 0 & x \leq 0 \end{array}, \lambda>0 ; r>0\right.} f(x)={Γ(r)λrxr−1e−λx0x>0x≤0,λ>0;r>0

根据特征函数定义，其特征函数求解如下：

φ ( t ) = ∫ 0 ∞ e j t x λ r Γ ( r ) x r − 1 e − λ x d x = λ r Γ ( r ) ∫ 0 ∞ x r − 1 e ( j t − λ ) x d x = u = ( λ − j t ) x λ r Γ ( r ) ∫ 0 ∞ 1 ( λ − j t ) r u r − 1 e − u d u = λ r Γ ( r ) Γ ( r ) ( λ − j t ) r = ( λ λ − j t ) r {\begin{aligned} \varphi(t) &=\int_{0}^{\infty} e^{j t x} \frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x} \mathrm{~d} x \\ &=\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} \int_{0}^{\infty} x^{r-1} e^{(j t-\lambda) x} \mathrm{~d} x \stackrel{u=(\lambda-j t) x} {=} \frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(\lambda-j t)^{r}} u^{r-1} e^{-u} \mathrm{~d} u \\ &=\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} \frac{\Gamma(r)}{(\lambda-j t)^{r}}=\left(\frac{\lambda}{\lambda-j t}\right)^{r} \end{aligned}} φ(t)=∫0∞ejtxΓ(r)λrxr−1e−λx dx=Γ(r)λr∫0∞xr−1e(jt−λ)x dx=u=(λ−jt)xΓ(r)λr∫0∞(λ−jt)r1ur−1e−u du=Γ(r)λr(λ−jt)rΓ(r)=(λ−jtλ)r

3.10 拉普拉斯分布

拉普拉斯分布的概率密度函数为：

f ( x ) = 1 2 λ e − ∣ x − μ ∣ λ , λ > 0 {f(x)=\frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{|x-\mu|}{\lambda}}, \lambda>0} f(x)=2λ1e−λ∣x−μ∣,λ>0

根据特征函数定义，其特征函数求解如下：

φ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e j t x 1 2 λ e − ∣ x − μ ∣ λ d x = 1 2 λ ( ∫ − ∞ μ e j t x 1 2 λ e x − μ λ d x + ∫ μ ∞ e j t x 1 2 λ e − x − μ λ d x ) = 1 2 λ ( e − μ λ λ j λ t + 1 e 1 + j λ t λ x ∣ − ∞ μ + e μ λ λ j λ t − 1 e j λ t − 1 λ x ∣ μ ∞ ) = e j μ t 1 + λ 2 t 2 {\begin{aligned} \varphi(t) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{j t x} \frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{|x-\mu|}{\lambda}} \mathrm{d} x \\ &=\frac{1}{2 \lambda}\left(\int_{-\infty}^{\mu} e^{j t x} \frac{1}{2 \lambda} e^{\frac{x-\mu}{\lambda}} \mathrm{d} x+\int_{\mu}^{\infty} e^{j t x} \frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{x-\mu}{\lambda}} \mathrm{d} x\right) \\ &=\frac{1}{2 \lambda}\left(\left.e^{-\frac{\mu}{\lambda}} \frac{\lambda}{j \lambda t+1} e^{\frac{1+j \lambda t}{\lambda} x}\right|_{{-\infty}}^{\mu}+\left.e^{\frac{\mu}{\lambda}} \frac{\lambda}{j \lambda t-1} e^{\frac{j \lambda t-1}{\lambda} x}\right|_{\mu} ^{\infty}\right) \\ &=\frac{e^{j \mu t}}{1+\lambda^{2} t^{2}} \end{aligned}} φ(t)=∫−∞∞ejtx2λ1e−λ∣x−μ∣dx=2λ1(∫−∞μejtx2λ1eλx−μdx+∫μ∞ejtx2λ1e−λx−μdx)=2λ1(e−λμjλt+1λeλ1+jλtx∣∣∣∣−∞μ+eλμjλt−1λeλjλt−1x∣∣∣∣μ∞)=1+λ2t2ejμt

4 随机变量均值和方差求解

常见随机变量的均值方差如下：

分布均值方差两点分布 p p q 二项分布 n p n p q 泊松分布 λ λ 正态分布 μ σ 2 几何分布 1 p q p 2 均匀分布 a + b 2 ( a − b ) 2 12 柯西分布 − − 指数分布 1 λ 1 λ 2 伽马分布 r λ r λ 2 拉普拉斯分布 μ 2 λ 2 \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { 分布 } & \text { 均值 } & \text { 方差 } \\ \hline \text { 两点分布 } & p & p q \\ \hline \text { 二项分布 } & n p & n p q \\ \hline \text { 泊松分布 } & \lambda & \lambda \\ \hline \text { 正态分布 } & \mu & \sigma^{2} \\ \hline \text { 几何分布 } & \frac{1}{p} & \frac{q}{p^{2}} \\ \hline \text { 均匀分布 } & \frac{a+b}{2} & \frac{(a-b)^{2}}{12} \\ \hline \text { 柯西分布 } & - & - \\ \hline \text { 指数分布 } & \frac{1}{\lambda} & \frac{1}{\lambda^{2}} \\ \hline \text { 伽马分布 } & \frac{r}{\lambda} & \frac{r}{\lambda^{2}} \\ \hline \text { 拉普拉斯分布 } & \mu & 2 \lambda^{2} \\ \hline \end{array} \\ 分布两点分布二项分布泊松分布正态分布几何分布均匀分布柯西分布指数分布伽马分布拉普拉斯分布均值 pnpλμp12a+b−λ1λrμ 方差 pqnpqλσ2p2q12(a−b)2−λ21λ2r2λ2

由性质(4)知：

E X k = φ ( k ) ( 0 ) j k {E X^{k}=\frac{\varphi^{(k)}(0)}{j^{k}}} EXk=jkφ(k)(0)

因此，随机变量均值和方差可求解如下：

E X = φ ′ ( 0 ) j = − j φ ′ ( 0 ) D X = E X 2 − ( E X ) 2 = − φ ′ ′ ( 0 ) + ( φ ′ ( 0 ) ) 2 { \begin{aligned} &E X=\frac{\varphi^{\prime}(0)}{j}=-j \varphi^{\prime}(0) \\ &D X=E X^{2}-(E X)^{2}=-\varphi^{\prime \prime}(0)+\left(\varphi^{\prime}(0)\right)^{2} \end{aligned}} EX=jφ′(0)=−jφ′(0)DX=EX2−(EX)2=−φ′′(0)+(φ′(0))2

4.1 两点分布的均值和方差

两点分布的特征函数为：

φ ( t ) = p e j t + q { \varphi(t) = pe^{jt} + q} φ(t)=pejt+q

则：

φ ′ ( 0 ) = j p φ ′ ′ ( 0 ) = − p { \begin{aligned} &\varphi^{\prime}(0)=j p \\ &\varphi^{\prime \prime}(0)=-p \end{aligned}} φ′(0)=jpφ′′(0)=−p

因此，其均值和方差为：

E X = − j φ ′ ( 0 ) = − j ⋅ j p = p D X = − φ ′ ′ ( 0 ) + ( φ ′ ( 0 ) ) 2 = p + ( j p ) 2 = p q (4.6) \Large { \begin{aligned} &E X=-j \varphi^{\prime}(0)=-j \cdot j p=p \\ &D X=-\varphi^{\prime \prime}(0)+\left(\varphi^{\prime}(0)\right)^{2}=p+(j p)^{2}=p q \end{aligned}\Large{\tag{4.6}} } EX=−jφ′(0)=−j⋅jp=pDX=−φ′′(0)+(φ′(0))2=p+(jp)2=pq(4.6)

4.2 二项分布的均值和方差

二项分布的特征函数为：

φ ( t ) = ( p e j t + q ) n { \varphi(t) = {(pe^{jt} + q)}^{n}} φ(t)=(pejt+q)n

则：

φ ′ ( 0 ) = j n p φ ′ ′ ( 0 ) = − n ( n − 1 ) p 2 − n p { \begin{aligned} &\varphi^{\prime}(0)=j n p \\ &\varphi^{\prime \prime}(0)=-n(n-1) p^{2}-n p \end{aligned} } φ′(0)=jnpφ′′(0)=−n(n−1)p2−np

因此，其均值和方差为：

E X = − j φ ′ ( 0 ) = − j ⋅ j n p = n p D X = − φ ′ ′ ( 0 ) + ( φ ′ ( 0 ) ) 2 = n ( n − 1 ) p 2 + n p + ( j n p ) 2 = n p q { \begin{aligned} &E X=-j \varphi^{\prime}(0)=-j \cdot j n p=n p \\ &D X=-\varphi^{\prime \prime}(0)+\left(\varphi^{\prime}(0)\right)^{2}=n(n-1) p^{2}+n p+(j n p)^{2}=n p q \end{aligned}} EX=−jφ′(0)=−j⋅jnp=npDX=−φ′′(0)+(φ′(0))2=n(n−1)p2+np+(jnp)2=npq

4.3 泊松分布的均值和方差

泊松分布的特征函数为：

φ ( t ) = e λ ( e j t − 1 ) {\varphi(t)=e^{\lambda\left(e^{j t}-1\right)}} φ(t)=eλ(ejt−1)

则：

φ ′ ( 0 ) = j λ φ ′ ′ ( 0 ) = − λ ( λ + 1 ) {\begin{aligned} &\varphi^{\prime}(0)=j \lambda \\ &\varphi^{\prime \prime}(0)=-\lambda(\lambda+1) \end{aligned}} φ′(0)=jλφ′′(0)=−λ(λ+1)

因此，其均值和方差为：

E X = − j φ ′ ( 0 ) = − j ⋅ j λ = λ D X = − φ ′ ′ ( 0 ) + ( φ ′ ( 0 ) ) 2 = λ ( λ + 1 ) + ( j λ ) 2 = λ {\begin{aligned} &E X=-j \varphi^{\prime}(0)=-j \cdot j \lambda=\lambda \\ &D X=-\varphi^{\prime \prime}(0)+\left(\varphi^{\prime}(0)\right)^{2}=\lambda(\lambda+1)+(j \lambda)^{2}=\lambda \end{aligned} } EX=−jφ′(0)=−j⋅jλ=λDX=−φ′′(0)+(φ′(0))2=λ(λ+1)+(jλ)2=λ

4.4 正态分布的均值和方差

正态分布的特征函数为：

φ ( t ) = e j μ t − σ 2 t 2 2 {\varphi(t)=e^{j \mu t-\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}}} φ(t)=ejμt−2σ2t2

则：

φ ′ ( 0 ) = j μ φ ′ ′ ( 0 ) = − ( σ 2 + μ 2 ) {\begin{aligned} &\varphi^{\prime}(0)=j \mu \\ &\varphi^{\prime \prime}(0)=-\left(\sigma^{2}+\mu^{2}\right) \end{aligned}} φ′(0)=jμφ′′(0)=−(σ2+μ2)

因此，其均值和方差为：

E X = − j φ ′ ( 0 ) = − j ⋅ j μ = μ D X = − φ ′ ′ ( 0 ) + ( φ ′ ( 0 ) ) 2 = ( σ 2 + μ 2 ) + ( j μ ) 2 = σ 2 {\begin{aligned} &E X=-j \varphi^{\prime}(0)=-j \cdot j \mu=\mu \\ &D X=-\varphi^{\prime \prime}(0)+\left(\varphi^{\prime}(0)\right)^{2}=\left(\sigma^{2}+\mu^{2}\right)+(j \mu)^{2}=\sigma^{2} \end{aligned}} EX=−jφ′(0)=−j⋅jμ=μDX=−φ′′(0)+(φ′(0))2=(σ2+μ2)+(jμ)2=σ2

4.5 几何分布的均值和方差

几何分布的特征函数为：

φ ( t ) = p e j t 1 − q e j t {\varphi(t)=\frac{p e^{j t}}{1-q e^{j t}}} φ(t)=1−qejtpejt

则：

φ ′ ( 0 ) = j 1 p φ ′ ′ ( 0 ) = − p + 2 q p 2 {\begin{aligned} &\varphi^{\prime}(0)=j \frac{1}{p} \\ &\varphi^{\prime \prime}(0)=-\frac{p+2 q}{p^{2}} \end{aligned}} φ′(0)=jp1φ′′(0)=−p2p+2q

因此，其均值和方差为：

E X = − j φ ′ ( 0 ) = − j ⋅ j 1 p = 1 p D X = − φ ′ ′ ( 0 ) + ( φ ′ ( 0 ) ) 2 = p + 2 q p 2 + ( j 1 p ) 2 = q p 2 {\begin{aligned} &E X=-j \varphi^{\prime}(0)=-j \cdot j \frac{1}{p}=\frac{1}{p} \\ &D X=-\varphi^{\prime \prime}(0)+\left(\varphi^{\prime}(0)\right)^{2}=\frac{p+2 q}{p^{2}}+\left(j \frac{1}{p}\right)^{2}=\frac{q}{p^{2}} \end{aligned}} EX=−jφ′(0)=−j⋅jp1=p1DX=−φ′′(0)+(φ′(0))2=p2p+2q+(jp1)2=p2q

4.6 均匀分布的均值和方差

均匀分布的特征函数为：

φ ( t ) = e j t b − e j t a j t ( b − a ) {\varphi(t)=\frac{e^{j t b}-e^{j t a}}{j t(b-a)}} φ(t)=jt(b−a)ejtb−ejta

则：

φ ′ ( 0 ) = j a + b 2 φ ′ ′ ( 0 ) = − a 2 + a b + b 2 3 {\begin{aligned} \varphi^{\prime}(0) &=j \frac{a+b}{2} \\ \varphi^{\prime \prime}(0) &=-\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3} \end{aligned} } φ′(0)φ′′(0)=j2a+b=−3a2+ab+b2

因此，其均值和方差为：

E X = − j φ ′ ( 0 ) = − j ⋅ j a + b 2 = a + b 2 D X = − φ ′ ′ ( 0 ) + ( φ ′ ( 0 ) ) 2 = a 2 + a b + b 2 3 + ( j a + b 2 ) 2 = ( a − b ) 2 12 {\begin{aligned} &E X=-j \varphi^{\prime}(0)=-j \cdot j \frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{2} \\ &D X=-\varphi^{\prime \prime}(0)+\left(\varphi^{\prime}(0)\right)^{2}=\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3}+\left(j \frac{a+b}{2}\right)^{2}=\frac{(a-b)^{2}}{12} \end{aligned}} EX=−jφ′(0)=−j⋅j2a+b=2a+bDX=−φ′′(0)+(φ′(0))2=3a2+ab+b2+(j2a+b)2=12(a−b)2

4.7 柯西分布的均值和方差

柯西分布的特征函数为：

φ ( t ) = e j t a − ∣ λ t ∣ {\begin{aligned} \varphi(t) &=e^{j t a-|\lambda t|} \end{aligned}} φ(t)=ejta−∣λt∣

则 φ ′ ( 0 ) \varphi^{\prime}(0) φ′(0) 和 φ ′ ′ ( 0 ) \varphi^{\prime \prime}(0) φ′′(0) 均不存在，因此，其均值和方差均不存在。

4.8 指数分布的均值和方差

指数分布的特征函数为：

φ ( t ) = λ ( λ − j t ) {\varphi(t)=\frac{\lambda}{(\lambda-j t)}} φ(t)=(λ−jt)λ

则：

φ ′ ( 0 ) = j 1 λ φ ′ ′ ( 0 ) = − 2 λ 2 {\begin{aligned} \varphi^{\prime}(0) &=j \frac{1}{\lambda} \\ \varphi^{\prime \prime}(0) &=-\frac{2}{\lambda^{2}} \end{aligned}} φ′(0)φ′′(0)=jλ1=−λ22

因此，其均值和方差为：

E X = − j φ ′ ( 0 ) = − j ⋅ j 1 λ = 1 λ D X = − φ ′ ′ ( 0 ) + ( φ ′ ( 0 ) ) 2 = 2 λ 2 + ( j 1 λ ) 2 = 1 λ 2 {\begin{aligned} &E X=-j \varphi^{\prime}(0)=-j \cdot j \frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\lambda} \\ &D X=-\varphi^{\prime \prime}(0)+\left(\varphi^{\prime}(0)\right)^{2}=\frac{2}{\lambda^{2}}+\left(j \frac{1}{\lambda}\right)^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}} \end{aligned}} EX=−jφ′(0)=−j⋅jλ1=λ1DX=−φ′′(0)+(φ′(0))2=λ22+(jλ1)2=λ21

4.9 伽马分布的均值和方差

伽马分布的特征函数为：

φ ( t ) = ( λ λ − j t ) r {\begin{aligned} \varphi(t) &=\left(\frac{\lambda}{\lambda-j t}\right)^{r} \end{aligned}} φ(t)=(λ−jtλ)r

则：

φ ′ ( 0 ) = j r λ φ ′ ′ ( 0 ) = − r 2 + r λ 2 {\begin{aligned} &\varphi^{\prime}(0)=j \frac{r}{\lambda} \\ &\varphi^{\prime \prime}(0)=-\frac{r^{2}+r}{\lambda^{2}} \end{aligned}} φ′(0)=jλrφ′′(0)=−λ2r2+r

因此，其均值和方差为：

E X = − j φ ′ ( 0 ) = − j ⋅ j r λ = r λ D X = − φ ′ ′ ( 0 ) + ( φ ′ ( 0 ) ) 2 = r 2 + r λ 2 + ( j r λ ) 2 = r λ 2 {\begin{aligned} &E X=-j \varphi^{\prime}(0)=-j \cdot j \frac{r}{\lambda}=\frac{r}{\lambda} \\ &D X=-\varphi^{\prime \prime}(0)+\left(\varphi^{\prime}(0)\right)^{2}=\frac{r^{2}+r}{\lambda^{2}}+\left(j \frac{r}{\lambda}\right)^{2}=\frac{r}{\lambda^{2}} \end{aligned}} EX=−jφ′(0)=−j⋅jλr=λrDX=−φ′′(0)+(φ′(0))2=λ2r2+r+(jλr)2=λ2r

4.10 拉普拉斯分布的均值和方差

拉普拉斯分布的特征函数为：

φ ( t ) = e j μ t 1 + λ 2 t 2 {\begin{aligned} \varphi(t) &=\frac{e^{j \mu t}}{1+\lambda^{2} t^{2}} \end{aligned}} φ(t)=1+λ2t2ejμt

则：

φ ′ ( 0 ) = j μ φ ′ ′ ( 0 ) = − ( μ 2 + 2 λ 2 ) {\begin{aligned} &\varphi^{\prime}(0)=j \mu \\ &\varphi^{\prime \prime}(0)=-\left(\mu^{2}+2 \lambda^{2}\right) \end{aligned}} φ′(0)=jμφ′′(0)=−(μ2+2λ2)

因此，其均值和方差为：

E X = − j φ ′ ( 0 ) = − j ⋅ j μ = μ D X = − φ ′ ′ ( 0 ) + ( φ ′ ( 0 ) ) 2 = μ 2 + 2 λ 2 + ( j μ ) 2 = 2 λ 2 {\begin{aligned} &E X=-j \varphi^{\prime}(0)=-j \cdot j \mu=\mu \\ &D X=-\varphi^{\prime \prime}(0)+\left(\varphi^{\prime}(0)\right)^{2}=\mu^{2}+2 \lambda^{2}+(j \mu)^{2}=2 \lambda^{2} \end{aligned} } EX=−jφ′(0)=−j⋅jμ=μDX=−φ′′(0)+(φ′(0))2=μ2+2λ2+(jμ)2=2λ2

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随机变量的特征函数及应用

随机变量的特征函数及应用

前言

1 特征函数定义

2 特征函数常用性质

3 常见分布特征函数求解

3.1 两点分布

3.2 二项分布

3.3 泊松分布

3.4 正态分布

3.5 几何分布

3.6 均匀分布

3.7 柯西分布

3.8 指数分布

3.9 伽马分布

3.10 拉普拉斯分布

4 随机变量均值和方差求解

4.1 两点分布的均值和方差

4.2 二项分布的均值和方差

4.3 泊松分布的均值和方差

4.4 正态分布的均值和方差

4.5 几何分布的均值和方差

4.6 均匀分布的均值和方差

4.7 柯西分布的均值和方差

4.8 指数分布的均值和方差

4.9 伽马分布的均值和方差

4.10 拉普拉斯分布的均值和方差

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