【线性代数】矩阵的零空间
矩阵A的零空间就Ax=0的解的集合。
假设矩阵如下:
对矩阵A进行高斯消元得到上三角矩阵U,继续化简得到最简矩阵R:
由于方程Ax=0的右侧是零向量,所以只对矩阵A进行消元不会影响解,因此不需要增广矩阵,所以有:
从上面的高斯消元的结果可以看出,矩阵A的秩为2,其中第1,3列为主元列,2,4列为自由列,对应于方程主来说,形式转变如下:
从上式可以看出,x2,x4是自由变量,我们可以随意赋值,x2=0,x4=1;x2=1,x4=0可以分别得到两个特解(几个自由变量就有几个特解):
然后我们将两组特解进行线性组合就得到了矩阵A的零空间:
我们可以对方程式作如下变形:
我们之所以进行上述变换,是为了有更好的表示形式(不进行列变换也行,但是要记住哪一列是单位矩阵I中的,哪一列是自由变量矩阵F中的):
这样我们代入方程式可以得到零空间矩阵:
由于R本来就具有很好的形式,就不用进行列变换了:
于是通过解方程得到零空间矩阵:
注:最简矩阵R和零空间矩阵x在MATLAB中可以分别用命令rref(A),null(A,'r')得到
原文:http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/40039373
作者:nineheadedbird
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