一，斯特林公式

1，公式

$n !=\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \cdot e^{\alpha_{n}}, \frac{1}{12 n+1}<\alpha_{n}<\frac{1}{12 n}$

2，证明

3，更多项

用以上方法可以求出 $\alpha_{n}$ 的前任意多项。

4，变形

$n !=\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \cdot e^{\alpha_{n}}, \frac{1}{12 n+1}<\alpha_{n}<\frac{1}{12 n}$

两边取对数

$ln(n !)=ln(\sqrt{2 \pi n}) + n*ln(\frac{n}{e})+\alpha_{n}, \frac{1}{12 n+1}<\alpha_{n}<\frac{1}{12 n}$

可用于计算机快速计算阶乘。

二，沃利斯公式

1，公式

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n) ! !}{(2 n-1) ! !}\right)^{2} \cdot \frac{1}{2 n+1}=\frac{\pi}{2}$

证明：

2，变形

$\frac{(2 n) ! !}{(2 n-1) ! !} \sim \sqrt{n \pi}$

$\frac{(n !)^{2} \cdot 2^{2 n}}{(2 n) !} \sim \sqrt{n\pi}$

$\lim_{n \to \infty}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{2n}\Gamma(\frac{n}{2})}=\frac{1}{2}$

参考欧拉Gamma函数

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一，斯特林公式

1，公式

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二，沃利斯公式

1，公式

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