数学基础 - 第二十四章圆

24.1 圆的有关性质

24.1.1 圆

如图24.1-3。在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆(circlc),其固定的端点O叫做圆心(center of a circle)·线段OA叫做半径(radius).

连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord).经过圆心的弦叫做直径(diamctcr)．如图24.1-5中,AB.AC是弦,AB是直径

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(are),以A,B为端点的孤记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆(scmi-circle).

能够重合的两个圆叫做等图,容易看出:半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相符.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧,

24.1.2 垂直于弦的直径

圆是轴对称园形,任何一条直径所在直线都是团的对称轴,

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧

进一步,我们还可以得到推论:

平分线(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

24.1.3 弧，弦，圆心角

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

同样,还可以得到:

在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等:

在同图或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的图心角相等,所对的弧相等

24.1.3 圆周角

这样，我们就得到圆周角定理:

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

进一步,我们还可以得到下面的推论:

同弧或等弧所对的圆周角相等,

半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径(图24.1-13).

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O是四边形ABCD的外接圆。

圆内接四边形的对角互补

24.2 点和圆，直线和圆的位置的关系

24.2.1 点和圆的位置关系

24.2.2 直线和圆的位置关系

实际上,我们有切线的性质定理(可以用反证法证明);

圆的切线垂直于过切点的半径,

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

24.3 正多边形和圆

24.4 弧长和扇形面积

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