求1到n中与n互质的和（数论）解释及证明

给出一个N，求1…N中与N互质的数的和

∑i=1ni[gcd(i,n)==1]\sum_{i=1}^n i \qquad[gcd(i,n)==1]∑i=1ni[gcd(i,n)==1]

反证法：gcd(n,i)=1

如果存在K!=1使gcd(n,n-i)=k,那么(n-i)%k==0且n%k=0

那么必须保证i%k=0。

i%k == 0 && n%k==0 那么gcd(n,i)=k，与已知条件矛盾，所以不成立。

得到结论gcd(n,i)=1 则gcd(n,n-i)=1

于是问题变的非常简单： ANS=N*phi(N)/2i,n-i总是成对出现，并且和是n

那如果n-i=i会不会重复计算呢？

分类讨论

1.如果n是奇数，那么n!=2*i,自然也不存在 n-i=i和重复计算之说

2.如果n是偶数,n=2*i成立,gcd(n,n/2)必然为n的一个因子,这个因子为1当且仅当n==2

于是对于n>2的偶数，gcd(n,n/2)=n/2

对于n==2 ans=2*1/2=1，正好也满足

所以得到最终公式： ans=N*phi(N)/2

作者：clover_hxy
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/clover_hxy/article/details/53152358
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