0 最优化问题数学概念补充

仿射集

仿射集相关定义与证明

给定空间的两个点x1,x2∈Rnx_1,x_2\in \mathbb{R}^nx1,x2∈Rn，我们可以确定一条过这两个点的直线：

y=θx1+(1−θ)x2=x2+θ(x1−x2)y=\theta x_1+(1-\theta)x_2=x_2+\theta(x_1-x_2)y=θx1+(1−θ)x2=x2+θ(x1−x2)

也就是我们从x2x_2x2出发，沿着x1−x2x_1-x_2x1−x2的方向任意变化θ\thetaθ值，这样就可以画出来整个一条直线。若我们想限定这条直线为线段，那么我们需要约束θ∈[0,1]\theta\in[0,1]θ∈[0,1]

从上面的直线，我们引出仿射集CCC的定义：

∀x1,x2∈C,θ∈R，θx1+(1−θ)x2∈C\forall x_1,x_2\in C,\theta\in R，\theta x_1+(1-\theta)x_2\in C∀x1,x2∈C,θ∈R，θx1+(1−θ)x2∈C

即对任意x1,x2∈Cx_1,x_2\in Cx1,x2∈C，若连接x1,x2x_1,x_2x1,x2的直线也在CCC内，则集合CCC是仿射集。显然一条直线是仿射集，但一个线段不是仿射集，整个的二维空间是一个仿射集，但是在二维空间内选择有限的一个区域不是一个仿射集。

仿射集的定义依赖于任意两点这个概念，那么如果我们将两个点扩充到三个点、四个点、无穷个点，然后对概念进行补充，就可以得到仿射组合这个概念：

设x1,x2,…,xn∈C,θ1,θ2,…,θn∈R,∑i=1kθi=1，那么我们将θ1x1+θ2x2+⋯+θnxn称为仿射组合设x_1,x_2,\dots,x_n\in C,\quad\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n\in R,\sum\limits_{i=1}^k\theta_i=1，\\那么我们将\theta_1x_1+\theta_2x_2+\dots+\theta_nx_n称为仿射组合设x1,x2,…,xn∈C,θ1,θ2,…,θn∈R,i=1∑kθi=1，那么我们将θ1x1+θ2x2+⋯+θnxn称为仿射组合

这本质是对仿射集的概念进行了扩展，如果一个集合是仿射集，那么我们从中选取任意kkk个点，他们的仿射组合总是在集合CCC内，当我们取k=2k=2k=2时该定义就退化为了仿射集线段的定义。

对仿射组合性质的证明：

0 最优化问题数学概念补充相关推荐

分数换算小数补0法_小学数学概念+知识点顺口溜汇总+常用单位换算汇总
小学数学概念年月日一三五七八十腊(12月), 三十一天永不差; 四六九冬(11月)三十日; 平年二月二十八, 闰年二月把一加. 100以内的质数口诀 2.3.5.7和11, 13后面是17, 19 ...
定义并调用函数输出 fibonacci 序列_科学网—Zmn-0351 薛问天：再谈数学概念的定义，评新华先生《0345》...
Zmn-0351 薛问天:再谈数学概念的定义,评新华先生<0345> [编者按.下面是薛问天先生发来的文章.是对<Zmn-0345>新华先生文章的评论.现在发布如下,供网友们共 ...
机器学习/深度学习-学习笔记：概念补充（上）
学习时间:2022.05.09~2022.05.11 概念补充(上) 在进行学习机器学习和深度学习的过程中,对于部分概念会比较陌生(可能是因为没有系统深入学习过统计学.运筹学和概率统计的相关知识:也可 ...
决策树算法（一）——一些重要的数学概念
写在前面的话趁着现在我还是高中数理化老师,偶尔兼职英语老师的时候赶紧抓紧时间写点有关计算机科学技术的东西.一来是表示我对计算机的热爱,二来,当然是最重要的咯,满足一下我强大的虚荣心.哈哈哈哈!想想高 ...
pca数学推导_PCA背后的统计和数学概念
pca数学推导 As I promised in the previous article, Principal Component Analysis (PCA) with Scikit-learn, ...
叉乘点乘混合运算公式_人教版小学二年级数学概念、公式汇总（附应用题），开学前给孩子预习！...
二年级数学概念.公式第一单元长度单位 1.常用的长度单位:米.厘米. 2.测量较短物体通常用厘米作单位,测量较长物体通常用米作单位. 3.测量物体长度的方法:将物体的左端对准直尺的"0 ...
游戏中的基本数学概念-矢量与点(转载)
我们所感知到的世界是一个几何的世界, 物理的世界. 从感观上我们很容易描述这个世界, 但是计算机不能接受这种描述方式. 计算机需要的是更加抽象的表达方式. 长期以来, 数学家发展出了用数学概念来抽象出 ...
几个有用的数学概念-数论
数学是算法基础.我们在写题时会经常碰到数论.概率.组合计数方面的问题.如何重复利用已知的数学概念和知识来解决问题,非常关键. 这篇文章是在阅读<算法竞赛入门经典>一书后的总结.如果读者已经 ...
机器学习算法Part1 基本数学概念
Part1 基本数学概念 1. 极大似然估计(MLE),最大后验概率(MAP),最小二乘法,EM 先验概率:根据以往经验分析和得到的概率,不用做实验就知道的概率后验概率:后验概率是在考虑了一个事实之 ...
4-8岁那些最难的数学概念，美国老师用一套绘本让孩子秒懂
▲ 数据汪特别推荐点击上图进入玩酷屋在美国,有不少数学故事类的绘本,小木今天推荐的这套<Math is categorical>就经常被美国老师用于课堂的教学,亚马逊的评价也是接近5星 ...

0 最优化问题数学概念补充

仿射集

仿射集相关定义与证明

0 最优化问题数学概念补充相关推荐

最新文章

热门文章