20200708：动态规划复习day02

写在前面

继续接着来写今天的动态规划系列

今天带来子序列相关的两道题，一起拓展动态规划的思路

题目一：最长上升子序列

解题思路

不再像昨天一样写我们如何找到状态选择的，直接来确定dp数组及其含义。没有那么多道理，你多刷几道题就清楚了。
首先确定dp [ i ]为以索引为i的元素结尾时，当前截断数组的最长上升子序列的长度。
那么我们如何确定dp[ i ]和dp[i - 1]之间的关系呢，拆分第一个示例寻找规律
1. - ```
  输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
  dp[0] = 1; // 10
  dp[1] = 1; // 9
  dp[2] = 1; // 2
  dp[3] = 2; // 2 5
  dp[4] = 2; // 2 3
  dp[5] = 3; // 2 3 7
  dp[6] = 4; // 2 3 7 101
  dp[7] = 4; // 2 3 7 101
  输出： 4
```
- 我们要求的是最长上升子序列，也就是说最后拿到dp数组中的最大值返回即可。
2. 从上述例子我们看出两点
  1. base case为将所有的dp赋值为1，因为至少有一个数单独称为上升子序列。
  2. 我们注意分析dp的变化过程：dp[ i ]表示以当前i索引的数结尾时的最长上升子序列，也就是新加入的状态就是索引为i的这个数，也是如此，我们必须寻求加入这个数和没加入这个数的区别，加入此数时，我们需要找到前面不包括此数的序列中比他小的数，也就是说我们需要遍历之前的所有数，找到比他小的数，找到之后再思考j索引下的数和dp[j]与当前dp[i]的关系，我们可以很容易的想到dp[j]+1 =dp[i],但是我们不能确定这个j索引的数就是比i索引数小的唯一一个数，因此我们需要不断更新这个数值。也就是
```
for (int i = 0; i < num.length;i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (num[j] < num [i]) {dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j] + 1);}}
}
```
  3. 如此这道题也就解决了、
下面进行代码实现

代码实现

class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {int res = 0;int[] dp = new int[nums.length];// base case的情况Arrays.fill(dp, 1);// dp转移过程for (int i = 0; i < nums.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}// 找到res即可for (int i = 0; i < dp.length; i++) {res = Math.max(res, dp[i]);}return res;}
}

题目二：最长公共子序列

解题思路

不再赘述过程，直接开始dp定义和状态转化关系分析：
dp [i] [j]为text1的前i个字符，和text2的前j个字符为输入的LCS值。
动态方程为：
dp [i] [j] = dp [i - 1] [j - 1] + 1
dp [i] [j] = max(dp [i - 1] [j], dp [i] [j - 1])
具体为上面的转移情况还是下面的转移情况其实也很清楚：
- 如果这俩子序列中当前遍历的字符相同，很显然此时将当前字符从两个字符串中都去掉得到的LCS只比当前多的这个字符时的LCS小1，也就是第一个状态转移方程。
- 如果不同，那也很简单，不同则需要前移两个字符串之一的指针，要么第一个字符串去掉最后一个，要么第二个字符串去掉最后一个字符，此时对比他们两者情况下的LCS值，当前情况下的LCS比这两者中大那个LCS大1，如此即可。
按照以上思路代码实现即可

代码实现

class Solution {public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {int len1 = text1.length();int len2 = text2.length();// 初始化dp数组记得多扩一组，因为dp[0][0]是不存值的。int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];// 注意我们索引从1开始比较方便些for (int i = 1; i <= len1; i++) {for (int j = 1; j <= len2; j++) {if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[len1][len2];}
}

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