51nod 1051 最大子矩阵和 【最大子段和DP变形/降维】
【题目】:
一个M*N的矩阵,找到此矩阵的一个子矩阵,并且这个子矩阵的元素的和是最大的,输出这个最大的值。 例如:3*3的矩阵:-1 3 -1 2 -1 3 -3 1 2和最大的子矩阵是:3 -1 -1 3 1 2 Input 第1行:M和N,中间用空格隔开(2 <= M,N <= 500)。 第2 - N + 1行:矩阵中的元素,每行M个数,中间用空格隔开。(-10^9 <= M[i] <= 10^9) Output 输出和的最大值。如果所有数都是负数,就输出0。 Input示例 3 3 -1 3 -1 2 -1 3 -3 1 2 Output示例 7
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【分析】:
在做这道题之前必须会最大子段和这一道题的基础,这也是动态规划中最简单的一道例题,而这道题是最大字段和的一个扩展。
例子: 0,2,7,2,-5最大的一个连续子序列之和。
分析:这五个数有这样几种和的组合:0;02;027;0272;……这样5!个数。
用数组索引来表示就是:0;0到1;0到2;0到3……1;1到2;……(这里是数组索引表示)
我们显然不能用多重循环把所有数都算出来,我们换一种角度思考,如果只有一个数字,那么最大的连续子序列数多少,还是以上面的例子为例,应该是0吧,那么现在有两个数字呢?有两种情况,一种是前面有一个数字的最大值(已求)+现在这个数字;另外一种情况是就是只有这个数字;然后算出来的最大值与只有一个数字的情况的最大值相比较;现在有三个数字,也有两种情况,一种是前面有前面两个数字的最大值+现在这个数字;或者就是只是这个数字;……
第一行:N代表这个N*N矩阵的维数int max_sum(int n)
{int i, sum = 0, max = INT_MIN; for(i = 0; i < n; i++){ -------------------------------------------------------------------------------0if(sum < 0)sum = 0;sum += a[i]; ---------------------------------------------------------1if(sum > max)max = sum;---------------------------------------------------------2}return max;
}
----0----代表蓝色部分【这个不用说循环】
----1----代表橙色部分【**下面说**】
----2----代表紫色部分
我们橙色的字;因为一共有两种情况,一种是自己本身,一种是前i-1项的最大值,我们换个思路想一下,假如第1个数(索引为0的数)为负数,那么下面前两个数的最大最一定是第二个数其本身,即第二次是把sum=0;sum+=a[1] 然后记录max值。。。实际上就是假如你前n个数是正的那么可以继续加上去,如果你前n个数是负的那么把值记录一下就好了。所以只要求前n项和和最大值就好了。
当然也有人是这样写的:
int MaxSum(int n,int *a)
{ int sum=0,b=0; for(int i=1; i<=n; i++) { if(b>0) { b+=a[i]; } else { b=a[i]; } if(b>sum) { sum = b; } } return sum;
}
或者更加直白的话是这样写的,这样更加容易理解一些,看个人的编程习惯了:
int max_sum2(int n)
{b[0]=a[0]; //数组b存放前n项的最大值int maximal=b[0];for(int i=1;i<n;i++){b[i]=max(b[i-1]+a[i],a[i]); //STLif(b[i]>maximal)maximal=b[i];}return maximal;
}
下面写二维的矩阵这道题,我们首先要做的就是降维然后像上面一样做。
科幻小说《三体》中描绘了恢弘壮丽的“降维攻击”的场景:
“歌者”随手抛下了一张“二向箔”,整个银河系的三维空间奔腾汹涌地流入二向箔,塌缩成一个二维平面,三维结构被碾压在二维平面之上。同时,这一降维过程是全息的,所有的三维信息被保留在碾压后的二维空间里。这种致命的攻击令攻击者和被攻击者同归于尽,玉石俱焚,其结局黑暗得令人窒息。
我们知道,在线性空间的最大子段和,已有线性时间的DP算法。有没有可能,把二维的最大矩阵和转化为一维的最大子段和呢?
答案是肯定的,算法有着似三体描述的未来武器般的威力
对于一个子矩阵,有四个属性:起始行位置 i , 结束行位置 j, 起始列 x, 结束列 y
我们可以枚举i, j, 然后对后列进行降维压缩
再对降维后的一维数组进行最大子序列和动态规划就行了。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #include<iostream> #include<stack> #define maxn 505 #define maxm 50005 #define INF 0x3f3f3f3f #define ll long long using namespace std;int n,m; int a; int dp[maxn][maxn]; //int sum[maxn][maxn];int main() {while(cin>>m>>n){memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&a);dp[i][j]=dp[i-1][j]+a;////让dp存放第i行的前j项和//其实我们用数学之美来看为什么要这样存放,你一维的时候存放的是一维的数据//二维的时候再存放一维的数据就是错误的,二维的时候就应该存放二维的数据//当然你也不要去存放前i行前j列之和,这个相比于前面的就是三维的数据了//如果你算的是长方体的数据,这样应该是对的,那么我们的数组也应该是三维的了 }}//s数组是用来记录起点行到终点行的每一竖条的数值和的,ans是用来记录不同的子矩阵和的(需要相邻竖条相加),int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){//这n行数有这样几种和的组合:0;02;027;0272;……这样n!个数。//用数组索引来表示就是:0;0到1;0到2;0到3……1;1到2;……(这里是数组索引表示)for(int j=i;j<=n;j++){//前面两层循环是列循环,比如三列的话就是,1-2列,1-3列,2-3列int sum=0;for(int k=1;k<=m;k++){sum+=(dp[j][k]-dp[i-1][k]);//对i到j行矩阵进行降维操作if(sum<0) sum=0;if(sum>ans) ans=sum;//ans=max(ans,sum); }}}printf("%d\n",ans);}return 0; }
注意行列n,m输入顺序
转载于:https://www.cnblogs.com/Roni-i/p/8946518.html
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