文章目录

1. 命题逻辑的等值演算与推理演算
- 参考
- 1.1 命题
- 1.2 常用联结词
- 1.3 命题公式
- - 命题公式的分类-重言式-矛盾式-可满足式
  - 等价关系式-逻辑等价 logically equivalent
- 1.4 命题的等值演算与推理
- - 基本等价式
  - 逻辑蕴涵重言式 logically implication
  - 重言蕴涵推到
  - 归结法
- 1.5 命题公式与真值表的关系
- - 由T列来写
  - 由F列来写
- 1.6 联结词的完备集
- - 完备集
  - 对偶式基本概念
- 1.7 范式
- - 范式定义与生成步骤
  - 主析取及主合取范式

1. 命题逻辑的等值演算与推理演算

参考

离散数学知识点总结（5）：蕴含式；命题的推理理论；逻辑推演的方法；推理的有效性证明

1.1 命题

命题：我们对确定对象做出的陈述句称为命题（propositions and statements 命题或陈述）。当判断为真时，该命题为真，否则为假。

今天下雨是命题 √
你在干什么啊非陈述句 X
我只给所有不给自己理发的人理发悖论 X

原子命题:通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题或原子(atoms)
复合命题:把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题(compositive propositions or compound statements 综合命题或复合命题)。

1.2 常用联结词

否定：符号 ¬ \neg ¬ 称作否定联结词
合取：符号 ∧ \wedge ∧称作合取联结词
析取：符号 ∨ \vee ∨称作析取联结词 .
蕴含或条件：符号 → \to →称作蕴含或条件联结词 .
双向蕴含或等价：符号 ↔ \leftrightarrow ↔称作双向蕴含或等价联结词 .

联结词优先级
( ) () () > ¬ \neg ¬ > ∧ \wedge ∧ > ∨ \vee ∨ > → \to → > ↔ \leftrightarrow ↔

1.3 命题公式

命题常元：代表特定的简单命题
命题变元：代表任意命题，取值为真或假的变量
命题公式：含有命题变元的表达式。即 P ∨ Q P \vee Q P∨Q便是一个命题公式

公式的赋值
定义：若命题公式 A A A含有的全部命题变元为 p 1 , p 2 , p 3 , p 4 … p n p_1,p_2,p_3,p_4…p_n p1,p2,p3,p4…pn,给 p 1 , p 2 , p 3 , p 4 … p n p_1,p_2,p_3,p_4…p_n p1,p2,p3,p4…pn指定一组真值，称为 A A A的一个解释或赋值。使 A A A的真值为真的赋值称为成真赋值，使A的真值为假的赋值为成假赋值。

指派或赋值:用 α , β \alpha,\beta α,β等表示当 A A A对取值状况 α \alpha α为真时，称指派 α \alpha α成真 A A A，或是 α \alpha α是 A A A的成真赋值。记为 α ( A ) = 1 \alpha\left(A\right)=1 α(A)=1
对一切可能的指派，公式 A A A的取值可用下表描述，真值表

真值表：命题公式在所有可能的赋值下的取值的列表含n个变形的公式有2的n次方个赋值。

命题公式的分类-重言式-矛盾式-可满足式

若A在它的各种情况下赋值的取值均为真，则称A为重言式或永真式
若A在它的各种情况下赋值的取值均为假，则称A为矛盾式或永假式
若至少存在一种赋值能使A的真值为真，则称A为可满足式

等价关系式-逻辑等价 logically equivalent

逻辑等价：当命题公式 A ↔ B A \leftrightarrow B A↔B为重言式时，称 A A A逻辑等价于 B B B，记为 A ⇔ B A \Leftrightarrow B A⇔B
注意: A ↔ B A \leftrightarrow B A↔B 和 A ⇔ B A \Leftrightarrow B A⇔B是有区别的，符号 A ↔ B A \leftrightarrow B A↔B是逻辑联结词，是运算符。而 A ⇔ B A \Leftrightarrow B A⇔B是关系符，表示A 和 B的逻辑等价关系。

1.4 命题的等值演算与推理

基本等价式

（1）双重否定律 ¬ ¬ ⇔ A \neg \neg \Leftrightarrow A ¬¬⇔A
（2）幂等律 A ∧ A ⇔ A , A ∨ A ⇔ A A \wedge A \Leftrightarrow A,A \vee A \Leftrightarrow A A∧A⇔A,A∨A⇔A
（3）交换律 A ∧ B ⇔ B ∧ A , A ∨ B ⇔ B ∨ A A \wedge B \Leftrightarrow B \wedge A, A \vee B \Leftrightarrow B \vee A A∧B⇔B∧A,A∨B⇔B∨A
（4）结合律
A ∧ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∧ C A \wedge (B \wedge C )\Leftrightarrow (A \wedge B) \wedge C A∧(B∧C)⇔(A∧B)∧C,
A ∨ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∨ C A \vee (B \vee C )\Leftrightarrow (A \vee B) \vee C A∨(B∨C)⇔(A∨B)∨C
A ↔ ( B ↔ C ) ⇔ ( A ↔ B ) ↔ C A \leftrightarrow (B \leftrightarrow C )\Leftrightarrow (A \leftrightarrow B) \leftrightarrow C A↔(B↔C)⇔(A↔B)↔C
（5）分配律
A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) A \wedge (B \vee C )\Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (A \wedge C) A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)
A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) A \vee (B \wedge C )\Leftrightarrow (A \vee B) \wedge (A \vee C) A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)
A → ( B → C ) ⇔ ( A → B ) → ( A → C ) A \rightarrow (B \rightarrow C) \Leftrightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C) A→(B→C)⇔(A→B)→(A→C)
（6）德摩根律 ¬ ( A ∧ B ) ⇔ ¬ A ∨ ¬ B , ¬ ( A ∨ B ) ⇔ ¬ A ∧ ¬ B \neg (A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B , \neg (A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B ¬(A∧B)⇔¬A∨¬B,¬(A∨B)⇔¬A∧¬B
（7）吸收律 A ∧ ( A ∨ B ) ⇔ A , A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ A A \wedge (A \vee B )\Leftrightarrow A , A \vee (A \wedge B ) \Leftrightarrow A A∧(A∨B)⇔A,A∨(A∧B)⇔A
（8）零律 A ∨ 1 ⇔ 1 , A ∧ 0 ⇔ 0 A \vee 1 \Leftrightarrow 1 , A \wedge 0 \Leftrightarrow 0 A∨1⇔1,A∧0⇔0
（9）同一律 A ∧ 1 ⇔ A , A ∨ 0 ⇔ A A \wedge 1 \Leftrightarrow A , A \vee 0 \Leftrightarrow A A∧1⇔A,A∨0⇔A
（10）排中律 A ∨ ¬ A ⇔ 1 A \vee \neg A \Leftrightarrow 1 A∨¬A⇔1
（11）矛盾律 A ∧ ¬ A ⇔ 0 A \wedge \neg A \Leftrightarrow 0 A∧¬A⇔0
（12）蕴涵等值式 A → B ⇔ ¬ A ∨ B A \to B \Leftrightarrow \neg A \vee B A→B⇔¬A∨B
（13）等价等值式
A ↔ B ⇔ ( A → B ) ∧ ( B → A ) A \leftrightarrow B \Leftrightarrow (A \to B) \wedge (B \to A) A↔B⇔(A→B)∧(B→A)
A ↔ B ⇔ ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ A ) A \leftrightarrow B \Leftrightarrow (\neg A \vee B) \wedge (\neg B \vee A) A↔B⇔(¬A∨B)∧(¬B∨A)
A ↔ B ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( ¬ A ∧ ¬ B ) A \leftrightarrow B \Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B) A↔B⇔(A∧B)∨(¬A∧¬B)
（14）假言易位 A → B ⇔ ¬ B → ¬ A A \to B \Leftrightarrow \neg B \to \neg A A→B⇔¬B→¬A
（15）等价否定等值式 A ↔ B ⇔ ¬ A ↔ ¬ B A \leftrightarrow B \Leftrightarrow \neg A \leftrightarrow \neg B A↔B⇔¬A↔¬B
（16）归谬论 ( A → B ) ∧ ( A → ¬ B ) ⇔ ¬ A (A \to B)\wedge (A \to \neg B) \Leftrightarrow \neg A (A→B)∧(A→¬B)⇔¬A

逻辑蕴涵重言式 logically implication

当命题公式 A → B A \to B A→B为重言式，称 A A A逻辑蕴涵 B B B，记为 A ⇒ B A \Rightarrow B A⇒B，需要注意重言蕴含 ⇒ \Rightarrow ⇒与普通蕴含 → \rightarrow →的关系。

重言蕴涵推到

⇒ \Rightarrow ⇒是命题公式 A A A和命题公式 B B B的推理关系， → \rightarrow →是两个原子命题的联结关系。

归结法

归结法是计算机进行推理的方法

1.5 命题公式与真值表的关系

对任一依赖于命题变元 p 1 , p 2 , p 3 , p 4 … p n p_1,p_2,p_3,p_4…p_n p1,p2,p3,p4…pn的命题公式 A A A来说，可由 p 1 , p 2 , p 3 , p 4 … p n p_1,p_2,p_3,p_4…p_n p1,p2,p3,p4…pn的真值根据命题公式 A A A给出 A A A的真值，从而建立起从 p 1 , p 2 , p 3 , p 4 … p n p_1,p_2,p_3,p_4…p_n p1,p2,p3,p4…pn到 A A A的真值表。
反之，若给定了由 p 1 , p 2 , p 3 , p 4 … p n p_1,p_2,p_3,p_4…p_n p1,p2,p3,p4…pn到 A A A的真值表，可以由下述方法，写出命题公式 A A A对 p 1 , p 2 , p 3 , p 4 … p n p_1,p_2,p_3,p_4…p_n p1,p2,p3,p4…pn的逻辑表达式。

由T列来写

由F列来写

1.6 联结词的完备集

参考：
【离散数学】数理逻辑第一章命题逻辑(4) 联结词的完备集

完备集

对偶式基本概念

1.7 范式

范式定义与生成步骤

主析取及主合取范式

主析取范式：

设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。

  若干个极小项的析取（并集）。

主合取范式：

设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。

若干个极大项的合取（交集）。

极大项，极小项:

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