用贝叶斯公式解决开奖问题

2024-04-13 10:07:57

一、问题描述

砸金蛋活动，现有三个金蛋A、B、C,其中只有一个有大奖，假设你一开始选择了金蛋B，主持人砸开了金蛋C,里面没有奖，主持人此时问你是否要更换选项，是继续坚持选择金蛋B，还是更改为选择金蛋A？

二、用贝叶斯公式求解

贝叶斯公式： $P(x|y)=\tfrac{P(y|x)P(x)}{P(y)}$

(1) 首先，利用贝叶斯公式计算在C开了的情况下，大奖在B里的概率

$P(B|C{open})=\tfrac{P(C{open}|B)P(B))}{P(C{open})}=\tfrac{P(C{open}|B)P(B))}{P(C{open}|A)P(A)+P(C{open}|B)P(B)}$

我们设 $P(C{open}|B)$ 的值为 k ，表示大奖在B金蛋里的情况下，主持人打开C的概率。

我们知道一开始的先验概率 $P(A)=P(B)=P(C)=\tfrac{1}{3}$ ；

现在来看看 $P(C{open}|A)$ ，表示大奖在A金蛋里的情况下，主持人打开C的概率。现在的情况是我选择了B，而大奖又在A里，那么主持人打开C的概率就为1，因此 $P(C{open}|A)=1$ ，则

$P(B|C{open})=\tfrac{\tfrac{1}{3}\times k}{\tfrac{1}{3}\times 1+\tfrac{1}{3}\times k}=\tfrac{1}{\tfrac{1}{k}+1}$

(2) 以同样的思路计算在C开了的情况下，大奖在A里的概率

$P(A|C{open}) = \tfrac{P(C{open}|A)P(A))}{P(C{open})} =\tfrac{P(C{open}|A)P(A))}{P(C{open}|A)P(A)+P(C{open}|B)P(B)} =\tfrac{\tfrac{1}{3}\times 1}{\tfrac{1}{3}\times 1+\tfrac{1}{3}\times k}=\tfrac{1}{1+k}$

由于 k<1 ，比较 $\tfrac{1}{\tfrac{1}{k}+1}$ 和 $\tfrac{1}{1+k}$ 可知， $P(B|C{open})< P(A|C{open})$

因此，此时 换选项A金蛋赢的机会大。

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