备忘录解决多边形游戏

问题描述：

多边形游戏是一个单人玩的游戏，开始时有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值，每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。

　　游戏第1步，将一条边删除。

　　随后n-1步按以下方式操作：

　　(1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2；

　　(2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。

　　最后，所有边都被删除，游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。

　　问题:对于给定的多边形，计算最高得分。

看了很多文章，都没有用备忘录算法解决n后的问题，所以博主试着用备忘录基本思想撸了一个n后问题的备忘录版本。首先，简单说说什么是备忘录算法。备忘录方法是动态规划的变形。与动态规划算法一样，备忘录方法用表格保存已解决的子问题的答案，在下次需要解决此问题时，只要简单地查看该子问题的解答，而不必重新计算，从而减少算法的时间复杂度。与动态规划不同的是，备忘录方法的递归方式是自顶向下的，不同于动态规划的自底向上。

下面开始分析算法：

数据结构：

v[N+1] 存放顶点数值

op[N+1] 存放操作符

flag[N+1][N+1] 表示该段数据有没有写入，写入为1，否则为0

m[i][j] 表示该段的数据,i为起点，j为终点

place 限制返回范围

#include <iostream>
using namespace std;
#define  N 100
int v[N + 1];
int m[N + 1][N + 1];
char flag[N + 1][N + 1];
char op[N + 1];
int p;
int n;
int maxf;
int place = 1;
int fun(int i, int j, int k)
{if (op[j] == '+')return i + k;else return i*k;
}int polyMax(int i, int j)
{if (i == j){m[i][j] = v[i];return v[i];}if (flag[i][j] == 1&&i >= place&&j >= place){return m[i][j];}int u = fun(polyMax(i, i), i, polyMax(i + 1, j));for (int k = i + 1; k < j; k++){int t = fun(polyMax(i, k), k, polyMax(k + 1, j));if (t>u)u = t; }m[i][j] = u;flag[i][j] = 1;return u;
}
void init()
{for (int i = 1; i <= 2 * n - 1; i++)for (int j = 1; j <= 2 * n - 1; j++){m[i][j] = 0;flag[i][j] = 0;}
}
int main()
{int temp;cout << "请输入多边形顶点数：" << endl;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cout << "请输入多边形顶点" << i << "数值:" << endl;cin >> v[i];cout << "请输入多边形边" << i << "运算符:" << endl;cin >> op[i];}maxf  = polyMax(1, n);p = 1;for (int a = 2; a <= n; a++){place++;v[n + a - 1] = v[a-1];v[a - 1] = 0;op[n + a - 1] = op[a - 1];temp = polyMax(a, n + a-1);if (temp > maxf){maxf = temp;p = a;}}cout <<"首次删掉第"<<p<<"条边，结果最大:"<< maxf << endl;system("pause");return 0;
}

代码具体分析：

因为多边形游戏起点是不定的，现假设第一次删的是第4条边。

对于上图，我们要求的是m[1][4]的值

不难理解：m[1][4]=max{m[1][1]op[1]m[2][4],m[1][2]op[2]m[3][4],m[1][3]op[3]m[4][4]}

而m[1][1]的值就是一个点，就是它本身的值1

m[2][4]=max{m[2][2]op[2]m[3][4],m[2][3]op[3]m[4][4]}

同理m[3][4],m[1][3]的值也可以求得。

我们可以用一个表格来表示：

可以发现上层的值可以通过下层的值得到。最后得到的结果24是第一条边删去的是op[4]

而根据问题我们需要每个边都要算一遍，这时候只需要把顶点的数据处理一下就可以了

可以用v[5]来表示v[1]的值，op[5]=op[1],然后从2~5开始再算一遍，这样就可以算出第一次删掉的边是op[1]的情况

n条边执行n次循环再筛选出其中的最大值，这就是问题的解。

执行效果如图：

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