文章目录

介绍
思路
或卷积
- 正变换
- - 证明
- 求解证明
- - 感性理解
  - 理性证明
- 逆变换
- - 感性理解
  - 理性证明
与卷积
- 正变换
- - 证明
- 求解证明
- 逆变换
异或卷积
- 正变换
- - 证明
- 求解证明
- 逆变换
模板题

介绍

我们以前常见的多项式乘法长这个亚子：
C[k]=∑i+j=kA[i]×B[j]C[k]=\sum_{i+j=k}A[i]\times B[j] C[k]=i+j=k∑A[i]×B[j]

而 FWTFWTFWT 用来处理的，与 FFTFFTFFT 稍稍不同，是这样的卷积：
C[k]=∑i⊕j=kA[i]×B[j]C[k]=\sum_{i\oplus j=k}A[i]\times B[j] C[k]=i⊕j=k∑A[i]×B[j]

其中，⊕\oplus⊕ 可以是 &,∣,Λ\&,|,\Lambda&,∣,Λ，这三种符号分别对应 and,or,xorand,or,xorand,or,xor。

为了方便，首先做一些约定（下面 A,BA,BA,B 代表多项式）：

A+B=(A[0]+B[0],A[1]+B[1],⋯)A+B=(A[0]+B[0],A[1]+B[1],\cdots)A+B=(A[0]+B[0],A[1]+B[1],⋯)，即按位相加
A−B=(A[0]−B[0],A[1]−B[1],⋯)A-B=(A[0]-B[0],A[1]-B[1],\cdots)A−B=(A[0]−B[0],A[1]−B[1],⋯)，即按位相减
A∗B=(A[0]×B[0],A[1]×B[1],⋯)A*B=(A[0]\times B[0],A[1]\times B[1],\cdots)A∗B=(A[0]×B[0],A[1]×B[1],⋯)，即按位相乘（这个要注意，别和卷积搞混了）
A⊕B=(∑i⊕j=0A[i]×B[j],∑i⊕j=1A[i]×B[j],⋯)A\oplus B=(\sum\limits_{i\oplus j=0}A[i]\times B[j]~,\sum\limits_{i\oplus j=1}A[i]\times B[j]~,\cdots)A⊕B=(i⊕j=0∑A[i]×B[j] ,i⊕j=1∑A[i]×B[j] ,⋯)，本质就是上面的那个卷积

思路

大致思路与 FFTFFTFFT 一致，将要卷在一起的两个多项式先正变换，然后按位相乘，最后逆变换回来即可。

或卷积

卷积的公式是这样的：C[k]=∑i∣j=kA[i]×B[j]C[k]=\sum\limits_{i|j=k}A[i]\times B[j]C[k]=i∣j=k∑A[i]×B[j]。可以表示为 C=A∣BC=A|BC=A∣B。

其实或卷积和与卷积的本质应该是 FMTFMTFMT，但是大部分人将它们归在 FWTFWTFWT 门下了，所以也放在这里讲。

正变换

定义： FWT(A)[i]=∑j∣iA[j]FWT(A)[i]=\sum_{j|i} A[j]FWT(A)[i]=∑j∣iA[j]。这个是正变换后得到的数组的意义，简单来说，就是下标的子集对应的位置之和，其中 j∣ij|ij∣i 表示 jjj 是 iii 的子集。

那么有一个很显然的性质：

FWT(A)+FWT(B)=FWT(A+B)FWT(A)+FWT(B)=FWT(A+B)FWT(A)+FWT(B)=FWT(A+B)

证明： 我们拿每一位单独看：

FWT(A)[i]=∑j∣iA[j]FWT(A)[i]=\sum_{j|i}A[j]FWT(A)[i]=∑j∣iA[j]
FWT(B)[i]=∑j∣iB[j]FWT(B)[i]=\sum_{j|i}B[j]FWT(B)[i]=∑j∣iB[j]
FWT(A+B)[i]=∑j∣i(A+B)[j]=∑j∣iA[j]+B[j]FWT(A+B)[i]=\sum_{j|i}(A+B)[j]=\sum_{j|i}A[j]+B[j]FWT(A+B)[i]=∑j∣i(A+B)[j]=∑j∣iA[j]+B[j]

嗯……很显然可以得到 FWT(A)[i]+FWT(B)[i]=FWT(A+B)[i]FWT(A)[i]+FWT(B)[i]=FWT(A+B)[i]FWT(A)[i]+FWT(B)[i]=FWT(A+B)[i]。

再定义一个东西：设 AAA 这个多项式有 2n2^n2n 项，那么 A0A_0A0 表示前 2n−12^{n-1}2n−1 项，A1A_1A1 表示后 2n−12^{n-1}2n−1 项。

那么其实很容易得到递归的公式：
FWT(A)={(FWT(A0),FWT(A0)+FWT(A1))(n>0)A(n=0)FWT(A)= \begin{cases} (FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1)) & (n>0)\\ A & (n=0) \end{cases} FWT(A)={(FWT(A0),FWT(A0)+FWT(A1))A(n>0)(n=0)

你问我 (A,B)(A,B)(A,B) 这样的表示是什么意思？别忘了 A,BA,BA,B 是多项式，你可以认为这是将两个多项式拼接在了一起。就像 A=(A0,A1)A=(A_0,A_1)A=(A0,A1)。

证明

n=0n=0n=0 时很显然，就不讲了。

仔细观察，A0A_0A0 与 A1A_1A1 的区别在于，A0A_0A0 部分下标最高位是 000，而 A1A_1A1 的最高位是 111，也就是说，A0A_0A0 在对应位置上是 A1A_1A1 的子集，因为只有最高位不一样，其他位都一样，所以我们将 A0A_0A0 加给 A1A_1A1。

又因为 A1A_1A1 中不可能有任何一位是 A0A_0A0 的任意一个位置的子集，所以左半部分就只是 FWT(A0)FWT(A_0)FWT(A0)。

这样递归下去，依次处理完第 n−1n-1n−1 位，第 n−2n-2n−2 位，……，第 111 位后，就求出了 FWT(A)FWT(A)FWT(A)。

求解证明

求出 FWT(A)FWT(A)FWT(A) 和 FWT(B)FWT(B)FWT(B) 之后，对应位置相乘就得到了 FWT(C)FWT(C)FWT(C)，然后逆变换就可以得到多项式 CCC。

这里就需要证明，为什么 FWT(C)=FWT(A∣B)=FWT(A)∗FWT(B)FWT(C)=FWT(A|B)=FWT(A)*FWT(B)FWT(C)=FWT(A∣B)=FWT(A)∗FWT(B)。

感性理解

感性理解其实很简单，FWT(A)[i]FWT(A)[i]FWT(A)[i] 记录的是 iii 的子集之和，FWT(B)[i]FWT(B)[i]FWT(B)[i] 也是，那么他们相乘，其实就是双方子集中的每一个元素两两相乘，取出来的两个元素的下标或起来一定还是 iii 的子集中的一个，由于 C[i]C[i]C[i] 记录的是下标或起来为 iii 的乘积之和，那么全部乘完之后，我们不仅得到了 C[i]C[i]C[i]，还得到了 iii 的所有子集的 CCC，也就是 FWT(C)[i]FWT(C)[i]FWT(C)[i]。

理性证明

这玩意丑的很……相信没人想看的qwq，不过为了严谨，还是有必要写的啦。

下面为了区分属于…的子集和或运算两个意思，就不都用 ∣|∣ 了，属于…的子集用 ∈\in∈ 代替（只是在这个证明中）。
FWT(C)[i]=∑j∈iC[j]=∑j∈i∑x∣y=jA[x]×B[y]=∑(x∣y)∈iA[x]×B[y]=∑x∈iA[x]×∑y∈iB[y]=FWT(A)[i]×FWT(B)[i]\begin{aligned} FWT(C)[i]&=\sum_{j\in i}C[j]\\ &=\sum_{j\in i}\sum_{x|y=j}A[x]\times B[y]\\ &=\sum_{(x|y)\in i}A[x]\times B[y]\\ &=\sum_{x\in i}A[x]\times\sum_{y\in i}B[y]\\ &=FWT(A)[i]\times FWT(B)[i] \end{aligned} FWT(C)[i]=j∈i∑C[j]=j∈i∑x∣y=j∑A[x]×B[y]=(x∣y)∈i∑A[x]×B[y]=x∈i∑A[x]×y∈i∑B[y]=FWT(A)[i]×FWT(B)[i]

逆变换

逆变换我们称为 IFWTIFWTIFWT，即满足 A=IFWT(FWT(A))A=IFWT(FWT(A))A=IFWT(FWT(A))。

这个其实只需要将上面的加号变成减号即可。

感性理解

可以类比前缀和来理解：

//知道每个位置的值求前缀和
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]+=a[i-1];
//知道前缀和求每个位置的值
for(int i=n;i>=1;i--)a[i]-=a[i-1];

理性证明

其实证明也很简单，以及与卷积和异或卷积的理性证明其实都差不多。

证明： 我们现在已知 FWT(A)0,FWT(A)1FWT(A)_0,FWT(A)_1FWT(A)0,FWT(A)1，要求 A0,A1A_0,A_1A0,A1。

∵FWT(A)0=FWT(A0)\because FWT(A)_0=FWT(A_0)∵FWT(A)0=FWT(A0)
∴A0=IFWT(FWT(A0))=IFWT(FWT(A)0)\therefore A_0=IFWT(FWT(A_0))=IFWT(FWT(A)_0)∴A0=IFWT(FWT(A0))=IFWT(FWT(A)0)
∵FWT(A)1=FWT(A0)+FWT(A1)\because FWT(A)_1=FWT(A_0)+FWT(A_1)∵FWT(A)1=FWT(A0)+FWT(A1)，即 FWT(A1)=FWT(A)1−FWT(A)0FWT(A_1)=FWT(A)_1-FWT(A)_0FWT(A1)=FWT(A)1−FWT(A)0
∴A1=IFWT(FWT(A1))=IFWT(FWT(A)1−FWT(A)0)\therefore A_1=IFWT(FWT(A_1))=IFWT(FWT(A)_1-FWT(A)_0)∴A1=IFWT(FWT(A1))=IFWT(FWT(A)1−FWT(A)0)

代码实现（其实和 FFTFFTFFT 很像）：

void FWT_or(ll *f,int type)//type为1是正变换，-1是逆变换
{for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)//每次将两块大小为mid的块合并成一个大块for(int block=mid<<1,j=0;j<n;j+=block)//枚举每个大块for(int i=j;i<j+mid;i++)//依次合并f[i+mid]=(f[i+mid]+f[i]*type+mod)%mod;
}

与卷积

卷积的公式是这样的：C[k]=∑i&j=kA[i]×B[j]C[k]=\sum\limits_{i\&j=k}A[i]\times B[j]C[k]=i&j=k∑A[i]×B[j]。

正变换

定义： FWT(A)[i]=∑i∣jA[j]FWT(A)[i]=\sum_{i|j}A[j]FWT(A)[i]=∑i∣jA[j]，意思就是，FWT(A)[i]FWT(A)[i]FWT(A)[i] 记录的是所有 A[j]A[j]A[j] 的和，其中 i,ji,ji,j 满足 iii 是 jjj 的子集。

这个显然也满足 FWT(A)+FWT(B)=FWT(A+B)FWT(A)+FWT(B)=FWT(A+B)FWT(A)+FWT(B)=FWT(A+B)。

其实与卷积和或卷积十分相似，一个是前面的对后面的产生贡献，一个是后面的对前面产生贡献。

类比或卷积，可以得到与卷积的递归公式：
FWT(A)={(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A1))(n>0)A(n=0)FWT(A)= \begin{cases} (FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1)) & (n>0)\\ A & (n=0) \end{cases} FWT(A)={(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A1))A(n>0)(n=0)

证明

这就不用证了吧……和或卷积基本上一毛一样，就是 A0A_0A0 和 A1A_1A1 对应位置就差一个 111，所以 A0A_0A0 是 A1A_1A1 子集，所以把 A1A_1A1 的贡献累加到 A0A_0A0 上。

求解证明

如果理解了或运算的求解证明，那么与运算的其实也搞定了。

这里就直接贴一个数学证明了：
FWT(C)[i]=∑i∈jC[j]=∑i∈j∑x∣y=jA[x]×B[y]=∑i∈(x∣y)A[x]×B[y]=∑i∈xA[x]×∑i∈yB[y]=FWT(A)[i]×FWT(B)[i]\begin{aligned} FWT(C)[i]&=\sum_{i\in j}C[j]\\ &=\sum_{i\in j}\sum_{x|y=j}A[x]\times B[y]\\ &=\sum_{i\in(x|y)}A[x]\times B[y]\\ &=\sum_{i\in x}A[x]\times\sum_{i\in y}B[y]\\ &=FWT(A)[i]\times FWT(B)[i] \end{aligned} FWT(C)[i]=i∈j∑C[j]=i∈j∑x∣y=j∑A[x]×B[y]=i∈(x∣y)∑A[x]×B[y]=i∈x∑A[x]×i∈y∑B[y]=FWT(A)[i]×FWT(B)[i]

几乎就是一样的qwq

逆变换

也是很简单的将加号变减号。

证明： 我们现在已知 FWT(A)0,FWT(A)1FWT(A)_0,FWT(A)_1FWT(A)0,FWT(A)1，要求 A0,A1A_0,A_1A0,A1。

∵FWT(A)1=FWT(A1)\because FWT(A)_1=FWT(A_1)∵FWT(A)1=FWT(A1)
∴A1=IFWT(FWT(A1))=IFWT(FWT(A)1)\therefore A_1=IFWT(FWT(A_1))=IFWT(FWT(A)_1)∴A1=IFWT(FWT(A1))=IFWT(FWT(A)1)
∵FWT(A)0=FWT(A0)+FWT(A1)\because FWT(A)_0=FWT(A_0)+FWT(A_1)∵FWT(A)0=FWT(A0)+FWT(A1)，即 FWT(A0)=FWT(A)1−FWT(A)0FWT(A_0)=FWT(A)_1-FWT(A)_0FWT(A0)=FWT(A)1−FWT(A)0
∴A0=IFWT(FWT(A0))=IFWT(FWT(A)0−FWT(A)1)\therefore A_0=IFWT(FWT(A_0))=IFWT(FWT(A)_0-FWT(A)_1)∴A0=IFWT(FWT(A0))=IFWT(FWT(A)0−FWT(A)1)

代码实现：

void FWT_and(ll *f,int type)
{for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)for(int block=mid<<1,j=0;j<n;j+=block)for(int i=j;i<j+mid;i++)f[i]=(f[i]+f[i+mid]*type+mod)%mod;
}

异或卷积

这个东西才是真正的 FWTFWTFWT，求法都奇奇怪怪的。

卷积的公式是这样的：C[k]=∑iΛj=kA[i]×B[j]C[k]=\sum\limits_{i\Lambda j=k}A[i]\times B[j]C[k]=iΛj=k∑A[i]×B[j]。

正变换

首先摒弃上面带来的一些奇奇怪怪的想法，因为异或卷积的正变换没有用到异或，完全没有。

设 c(i)c(i)c(i) 表示 iii 的二进制有多少个 111，如 c(3)=2c(3)=2c(3)=2。

奇怪的定义： FWT(A)[i]=∑j=02n−1(−1)c(i&j)A[j]FWT(A)[i]=\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{c(i\&j)}A[j]FWT(A)[i]=j=0∑2n−1(−1)c(i&j)A[j]，也可以写成 FWT(A)[i]=(∑c(i&j)mod2=0A[j])−(∑c(i&k)mod2=1A[k])FWT(A)[i]=(\sum\limits_{c(i\&j)\bmod 2=0}A[j])-(\sum\limits_{c(i\&k)\bmod 2=1}A[k])FWT(A)[i]=(c(i&j)mod2=0∑A[j])−(c(i&k)mod2=1∑A[k])。

没错，是 &\&& 不是 Λ\LambdaΛ。不用管为什么，看下去就知道了，重点是记住定义。

递归公式：
FWT(A)={(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A0)−FWT(A1))(n>0)A(n=0)FWT(A)= \begin{cases} (FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1)) & (n>0)\\ A & (n=0) \end{cases} FWT(A)={(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A0)−FWT(A1))A(n>0)(n=0)

怎么样，是不是有种见了鬼的感觉qwq

但是实际上不难理解。

证明

依然忽略 n=0n=0n=0 时的情况~

此时要理解，求出来的 FWT(A1)FWT(A_1)FWT(A1) 并没有考虑到他是 AAA 的右半部分，即最高位的 111 是没有考虑的，也就是说，求 FWT(A1)FWT(A_1)FWT(A1) 时下标是 000 ~ 2n−1−12^{n-1}-12n−1−1，而不是 2n−12^{n-1}2n−1 ~ 2n−12^n-12n−1。

剩下的我们从左到右看：

首先 FWT(A)0=FWT(A0)+FWT(A1)FWT(A)_0=FWT(A_0)+FWT(A_1)FWT(A)0=FWT(A0)+FWT(A1)，因为 FWT(A)0FWT(A)_0FWT(A)0 是左半部分，于是最高位是 000，所以不管是和左半部分做与运算还是与右半部分做与运算，最高位都是 000，所以直接把左右两边的贡献加起来即可。

而 FWT(A)1FWT(A)_1FWT(A)1 比较特殊，他是右半部分，所以他与右半部分做与运算时，最高位多出来一个 111，而这是 FWT(A1)FWT(A_1)FWT(A1) 没有考虑到的，如果多了个 111 的话，回看上面的定义，c(i&j)c(i\&j)c(i&j) 就会乘多一个 −1-1−1，所以 FWT(A1)FWT(A_1)FWT(A1) 的贡献是负的。而 FWT(A0)FWT(A_0)FWT(A0) 无所谓，由于它本身就在左半部分，不会多出最高位的 111，所以贡献是正的。

求解证明

这里就用到异或了，以及用到了一个性质（描述有点长qwq，不想看的可以直接看下面的柿子）：iii 与 kkk 的 111 的数量的奇偶性异或 jjj 与 kkk 的 111 的数量的奇偶性等于 iii 异或 jjj 再与 kkk 的 111 的数量的奇偶性相同。

用数学柿子来表示的话，设 P(i)P(i)P(i) 表示 iii 的奇偶性，当 iii 是奇数时 P(i)=1P(i)=1P(i)=1，当 iii 是偶数时 P(i)=0P(i)=0P(i)=0，那么这个性质就是：
P(c(i&k))ΛP(c(j&k))=P(c((iΛj)&k))P(c(i\&k))\Lambda P(c(j\&k))=P(c((i\Lambda j)\&k)) P(c(i&k))ΛP(c(j&k))=P(c((iΛj)&k))

为了严谨，证明还是要有的（其实随便手玩一下就懂了，很简单）：

考虑 i,j,ki,j,ki,j,k 的某一位，记为 x,y,zx,y,zx,y,z（注意，是同一位），那么有两种情况（已经尽力压缩了qwq，怕多了各位不看呀，下面这些看起来繁琐的东西其实逻辑很简单的，静心细看就好）：

x,yx,yx,y 都等于或不等于 zzz（即 x=yx=yx=y）。那么 i&ki\&ki&k 和 j&kj\&kj&k 的这一位相同，所以 c(i&k)c(i\&k)c(i&k) 和 c(j&k)c(j\&k)c(j&k) 同时 +1+1+1 或 +0+0+0，P(c(i&k))ΛP(c(j&k))P(c(i\&k))\Lambda P(c(j\&k))P(c(i&k))ΛP(c(j&k)) 的值不变。再看等式右边，iΛji\Lambda jiΛj 的这一位为 000，那么 (iΛj)&k(i\Lambda j)\&k(iΛj)&k 的这一位就是 000，对 c((iΛj)&k)c((i\Lambda j)\&k)c((iΛj)&k) 没有贡献，所以 P(c((iΛj)&k))P(c((i\Lambda j)\&k))P(c((iΛj)&k)) 也不会变，等式成立。
x,yx,yx,y 一个等于 zzz，一个不等于 zzz（即 x≠yx\neq yx=y）。假如 z=0z=0z=0，那么参照情况 111，很容易知道此时两边又是不会发生变化的。如果 z=1z=1z=1，此时 i&ki\&ki&k 和 j&kj\&kj&k 的这一位不同，所以 c(i&k)c(i\&k)c(i&k) 和 c(j&k)c(j\&k)c(j&k) 一个 +1+1+1，一个 +0+0+0，那么等式左边就会发生变化。而右边因为 iΛji\Lambda jiΛj 和 kkk 的这一位同时为 111，所以 c((iΛj)&k)c((i\Lambda j)\&k)c((iΛj)&k) 会 +1+1+1，那么等式右边也会发生变化。等式两边同时变化，等式依然成立。

接下来就是求解的证明了，还是像上面那样大力展开（自己手(luan)推的，要是错了告知一下谢谢啦qwq）：
FWT(C)[i]=∑j=02n−1(−1)c(i&j)C[j]=∑j=02n−1(−1)c(i&j)∑xΛy=jA[x]×B[y]=∑x=02n−1∑y=02n−1A[x]×B[y]×(−1)c(i&(xΛy))\begin{aligned} FWT(C)[i]&=\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{c(i\&j)}C[j]\\ &=\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{c(i\&j)}\sum_{x\Lambda y=j} A[x]\times B[y]\\ &=\sum_{x=0}^{2^n-1}\sum_{y=0}^{2^n-1}A[x]\times B[y]\times(-1)^{c(i\&(x\Lambda y))} \end{aligned} FWT(C)[i]=j=0∑2n−1(−1)c(i&j)C[j]=j=0∑2n−1(−1)c(i&j)xΛy=j∑A[x]×B[y]=x=0∑2n−1y=0∑2n−1A[x]×B[y]×(−1)c(i&(xΛy))

诶！仔细观察发现，我们只在意 c(i&(xΛy))c(i\&(x\Lambda y))c(i&(xΛy)) 的奇偶性，因为他是 −1-1−1 的指数，所以我们不妨在外面套一个 PPP，显然是不影响答案的。
=∑x=02n−1∑y=02n−1A[x]×B[y]×(−1)P(c(i&(xΛy)))=\sum_{x=0}^{2^n-1}\sum_{y=0}^{2^n-1}A[x]\times B[y]\times(-1)^{P(c(i\&(x\Lambda y)))} =x=0∑2n−1y=0∑2n−1A[x]×B[y]×(−1)P(c(i&(xΛy)))

这不就是上面性质里的样子吗！于是我们可以愉快的拆开啦：
=∑x=02n−1∑y=02n−1A[x]×B[y]×(−1)P(c(i&x))ΛP(c(i&y))=\sum_{x=0}^{2^n-1}\sum_{y=0}^{2^n-1}A[x]\times B[y]\times(-1)^{P(c(i\&x))~\Lambda ~P(c(i\&y))} =x=0∑2n−1y=0∑2n−1A[x]×B[y]×(−1)P(c(i&x)) Λ P(c(i&y))

仔细观察下面的柿子，是不是有什么规律？

(−1)0Λ0=1=(−1)0+0(-1)^{0\Lambda 0}=~~~1=(-1)^{0+0}(−1)0Λ0= 1=(−1)0+0
(−1)0Λ1=−1=(−1)0+1(-1)^{0\Lambda 1}=-1=(-1)^{0+1}(−1)0Λ1=−1=(−1)0+1
(−1)1Λ0=−1=(−1)1+0(-1)^{1\Lambda 0}=-1=(-1)^{1+0}(−1)1Λ0=−1=(−1)1+0
(−1)1Λ1=1=(−1)1+1(-1)^{1\Lambda 1}=~~~1=(-1)^{1+1}(−1)1Λ1= 1=(−1)1+1

没错！将指数里的 Λ\LambdaΛ 换成 +++ 并不影响答案！

接下来就可以顺理成章的证明下去了。
=∑x=02n−1∑y=02n−1A[x]×B[y]×(−1)P(c(i&x))+P(c(i&y))=∑x=02n−1∑y=02n−1A[x]×B[y]×(−1)P(c(i&x))×(−1)P(c(i&y))=∑x=02n−1A[x]×(−1)P(c(i&x))×∑y=02n−1B[y]×(−1)P(c(i&y))=FWT(A)[i]×FWT(B)[i]\begin{aligned} &=\sum_{x=0}^{2^n-1}\sum_{y=0}^{2^n-1}A[x]\times B[y]\times(-1)^{P(c(i\&x))+P(c(i\&y))}\\ &=\sum_{x=0}^{2^n-1}\sum_{y=0}^{2^n-1}A[x]\times B[y]\times(-1)^{P(c(i\&x))}\times(-1)^{P(c(i\&y))}\\ &=\sum_{x=0}^{2^n-1}A[x]\times (-1)^{P(c(i\&x))} \times \sum_{y=0}^{2^n-1}B[y]\times (-1)^{P(c(i\&y))}\\ &=FWT(A)[i]\times FWT(B)[i] \end{aligned} =x=0∑2n−1y=0∑2n−1A[x]×B[y]×(−1)P(c(i&x))+P(c(i&y))=x=0∑2n−1y=0∑2n−1A[x]×B[y]×(−1)P(c(i&x))×(−1)P(c(i&y))=x=0∑2n−1A[x]×(−1)P(c(i&x))×y=0∑2n−1B[y]×(−1)P(c(i&y))=FWT(A)[i]×FWT(B)[i]

逆变换

这个就稍微跟上面不一样的，不过一样的是都很容易理解~

设 A′=FWT(A)A'=FWT(A)A′=FWT(A)，那么逆变换递推公式就是：
{(IFWT(A0′)+IFWT(A1′)2,IFWT(A0′)−IFWT(A1′)2)(n>0)A′(n=0)\begin{cases} (\frac {IFWT(A'_0)+IFWT(A'_1)} 2,\frac {IFWT(A'_0)-IFWT(A'_1)} 2) & (n>0)\\ A' & (n=0) \end{cases} {(2IFWT(A0′)+IFWT(A1′),2IFWT(A0′)−IFWT(A1′))A′(n>0)(n=0)

证明： 现在已知 FWT(A)0,FWT(A)1FWT(A)_0,FWT(A)_1FWT(A)0,FWT(A)1，求 A0,A1A_0,A_1A0,A1。

∵FWT(A)0=FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A)1=FWT(A0)−FWT(A1)\because FWT(A)_0=FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A)_1=FWT(A_0)-FWT(A_1)∵FWT(A)0=FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A)1=FWT(A0)−FWT(A1)
∴FWT(A0)=FWT(A)0+FWT(A)12,FWT(A1)=FWT(A)0−FWT(A)12\therefore FWT(A_0)=\frac {FWT(A)_0+FWT(A)_1} 2,FWT(A_1)=\frac {FWT(A)_0-FWT(A)_1} 2∴FWT(A0)=2FWT(A)0+FWT(A)1,FWT(A1)=2FWT(A)0−FWT(A)1
∴A0=IFWT(FWT(A0))=IFWT(FWT(A)0+FWT(A)12)\therefore A_0=IFWT(FWT(A_0))=IFWT(\frac {FWT(A)_0+FWT(A)_1} 2)∴A0=IFWT(FWT(A0))=IFWT(2FWT(A)0+FWT(A)1)
A1=IFWT(FWT(A1))=IFWT(FWT(A)0−FWT(A)12)~~~~A_1=IFWT(FWT(A_1))=IFWT(\frac {FWT(A)_0-FWT(A)_1} 2) A1=IFWT(FWT(A1))=IFWT(2FWT(A)0−FWT(A)1)

代码实际上也没比上面的麻烦多少：

void FWT_xor(ll *f,int type)
{for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)for(int block=mid<<1,j=0;j<n;j+=block)for(int i=j;i<j+mid;i++)//这三个循环与上面完全一样{ll x=f[i],y=f[i+mid];f[i]=(x+y)%mod*(type==1?1:inv_2)%mod;f[i+mid]=(x-y+mod)%mod*(type==1?1:inv_2)%mod;}
}

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题目传送门

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
#define mod 998244353
#define maxn 1<<18int n;
ll a[maxn],b[maxn],A[maxn],B[maxn];
void FWT_or(ll *f,int type)
{for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)for(int block=mid<<1,j=0;j<n;j+=block)for(int i=j;i<j+mid;i++)f[i+mid]=(f[i+mid]+f[i]*type+mod)%mod;
}
void FWT_and(ll *f,int type)
{for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)for(int block=mid<<1,j=0;j<n;j+=block)for(int i=j;i<j+mid;i++)f[i]=(f[i]+f[i+mid]*type+mod)%mod;
}
int inv_2=499122177;
void FWT_xor(ll *f,int type)
{for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)for(int block=mid<<1,j=0;j<n;j+=block)for(int i=j;i<j+mid;i++){ll x=f[i],y=f[i+mid];f[i]=(x+y)%mod*(type==1?1:inv_2)%mod;f[i+mid]=(x-y+mod)%mod*(type==1?1:inv_2)%mod;}
}
void work(void (*FWT)(ll *f,int type))//将函数作为参数传入
{for(int i=0;i<n;i++)a[i]=A[i],b[i]=B[i];FWT(a,1);FWT(b,1);for(int i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*b[i]%mod;FWT(a,-1);for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",a[i]);printf("\n");
}int main()
{scanf("%d",&n);n=1<<n;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&A[i]),A[i]%=mod;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&B[i]),B[i]%=mod;work(FWT_or);work(FWT_and);work(FWT_xor);
}

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快速沃尔什变换（FWT）详详详解

文章目录

介绍

思路

或卷积

正变换

证明

求解证明

感性理解

理性证明

逆变换

感性理解

理性证明

与卷积

正变换

证明

求解证明

逆变换

异或卷积

正变换

证明

求解证明

逆变换

模板题

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