牛顿迭代法 matlab程序

1．功能

本程序采用牛顿法，求实系数高次代数方程

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=０　（a_n≠０）　　　　（1）

的在初始值x₀附近的一个根。

2.使用说明

（1）函数语句

Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1)

调用M文件newton_1.m。

（2）参数说明

A n+1元素的一维实数组，输入参数，按升幂存放方程系数。

N　　整变量，输入参数，方程阶数。

X0 实变量，输入参数，初始迭代值。

NN　整变量，输入参数，允许的最大迭代次数。

EPS1　实变量，输入参数，控制根的精度。

3．方法简介

解非线性议程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x₀点附近展开成泰勒级数

f(x)=f(x₀)+(x－x₀)fˊ(x₀)+(x－x₀)² +…

取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有

f(x₀)+fˊ(x₀)(x－x₀)=0

设fˊ(x₀)≠0则其解为

x₁=x₀－f(x₀)/fˊ(x₀)

再把f(x)在x₁附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x₁)≠0，则得

x₂=x₁－f(x₁)/fˊ(x₁)

这样，得到牛顿法的一个迭代序列

x_n+1=x_n－f(x_n)/fˊ(x_n)

4．newton_1.m程序

function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)

x(1)=x0；

b=1；

i=1；

while(abs(b)>eps1*x(i))

i=i+1；

x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；

b=x(i)-x(i-1)；

if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)；

return；

end

y=x(i)；

程序中调用的n_f.m和n_df.m文件如下：

function y=n_f(a,n,x)%待求根的实数代数方程的函数
y=0.0;
for i=1:(n+1)
y=y+a(i)*x^(n+1-i);
end

function y=n_df(a,n,x)%方程一阶导数的函数
y=0.0;
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);
end

5．程序附注

（1）程序中调用n_f.m和n_df.m文件。n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m是方程一阶导数的函数。由使用者自己编写。

（2）牛顿迭代法的收敛速度：如果f(x)在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是f(x)的一个重零点，且初始值x₀充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，其收敛速度是二阶的，即平方收敛速度。

6．例题

用牛顿法求下面方程的根

f(x)=x³+2x²+10x-20

7．运行结果

>>a=[1,2,10,-20] ；

>>n=3；

>>x0=1；

>>nn=1000；

>>eps1=1e-8；

>>y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)

1.368808107821373e+000

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