【数论】GCD（P2568）

正题

P2568

题目大意

求满足1≤x,y≤n1\leq x,y\leq n1≤x,y≤n且gcd(x,y)=primegcd(x,y)=primegcd(x,y)=prime的数对(x,y)(x,y)(x,y)的个数

解题思路

题目即求

∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=prime]\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=prime]i=1∑nj=1∑n[gcd(i,j)=prime]

可以考虑先枚举该prime，那么有

∑p∈primen∑i=1n/p∑j=1n/p[gcd(i,j)=1]∑p∈primen∑i=1n/p∑j=1n/p∑d∣i,d∣jμ(d)∑p∈primen∑d=1n/pμ(d)×⌊nd⌋×⌊nd⌋\sum_{p\in prime}^n\sum_{i=1}^{n/p}\sum_{j=1}^{n/p}[gcd(i,j)=1]\\ \sum_{p\in prime}^n\sum_{i=1}^{n/p}\sum_{j=1}^{n/p}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)\\ \sum_{p\in prime}^n\sum_{d=1}^{n/p}\mu(d)\times \left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\times \left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor p∈prime∑ni=1∑n/pj=1∑n/p[gcd(i,j)=1]p∈prime∑ni=1∑n/pj=1∑n/pd∣i,d∣j∑μ(d)p∈prime∑nd=1∑n/pμ(d)×⌊dn⌋×⌊dn⌋

时间复杂度不太会证，看dalao证的是 O(n/logn)O(n/log n)O(n/logn)的

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 10000010
using namespace std;
ll n,ans,w,p[N],mu[N],prime[N];
void work()
{p[1]=mu[1]=1;for(ll i=2;i<=10000000;++i){if(!p[i]){prime[++w]=i;mu[i]=-1;}for(ll j=1;j<=w&&i*prime[j]<=10000000;++j){p[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}else mu[i*prime[j]]=-mu[i];}}for(ll i=2;i<=10000000;++i)mu[i]+=mu[i-1];return;
}
ll get(ll n)
{ll sum=0;for(ll l=1,r=0;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);sum+=(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(n/l);}return sum;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);work();for(ll i=1;i<=w;++i)if(prime[i]<=n)ans+=get(n/prime[i]);else break;printf("%lld",ans);return 0;
}

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