上篇，我们提到，遇到问题，首先根据定义写出笨方法，找出依赖关系（有些题这一步就不太简单，要自己归纳关系），然后进行优化，下面，我们通过几道此方面的经典的，较为简单的二维题目进行讲解。

开始根据题来说明：

第一个萌新题

给定数组arr, arr 中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim 代表要找的钱数，求组成aim 的最少货币数。

[举例]

arr=[5,2,3], aim=20。

4 张5 元可以组成20 元，其他的找钱方案都要使用更多张的货币，返回4。

arr=[5,2,3], aim=0。

不用任何货币就可以组成0 元，返回0。

arr=[3,5],aim=2。

根本无法组成2 元，钱不能找开的情况下默认返回-1。

(你要是想贪心就贪吧，反正我不贪)

定义f(a,b)代表的是a面值及之前的货币，组成b元的最少张数。那f(arr[-1],aim)就是我们想求的答案。现在分析，怎样通过前面的状态推出结果？对于货币arr[-1]，我们可以一张都不用，那最少张数其实就是f(arr[-2],aim)，我们也可以用一张arr[-1]，最少张数就可能是f(arr[-2],aim-arr[-1])+1（用之前的钱组成aim-arr[-1]元钱，然后加一张arr[-1]），同理，我们可以用两张arr[-1]，或者更多，直到下一个就超过aim的时候。所以我们应该在所有情况中选最小的，

归纳表达式：

f(a,b)=min(f(arr[a-1],b-k*arr[a])+k),k>=0,且b-k*arr[a]>=0

当然，以前也提到过，直接递归我们会有大量重复计算，所以需要记下来之前的结果供我们使用。有两个参数代表现在的状态，所以生成二维表。

l=[[0 for i in range(len(arr))] for i in range(aim+1)]#

我们看，f(arr[a],b)和谁有关？和上一行，也就是arr[a-1]那一行的很多左边元素有关。

所以确定打表顺序，从上到下，从左到右，打表，一个一个打，l[a][b]=min(f(a-1,b-k*arr[a])+k),依次推出l[a][b]，右下角就是答案。

但是，还是有相当多的重复计算，我们的l[a][b-arr[a]]其实就是根据除了l[a-1][b]的左边那些元素求的的最小值

所以l[a][b]=min(l[a][b-arr[a]]+1,l[a-1][b]）。

其实和左边和上边元素相关的背包，还有一些别的题，都是如此。对于本物品，当前决策就是拿或不拿，以前的最优情况

l[a][b-arr[a]]和l[a-1][b]已经有了。不用管的。结合当前状态的定义，就明白了。

至此，时间优化到严格o(a*b),空间o(a*b)，空间还能优化到o(min(a,b))，下一个题讲压缩方法。

第二个萌新题

给一个由数字组成的矩阵，初始在左上角，要求每次只能向下或向右移动，路径和就是经过的数字全部加起来，求可能的最小路径和。

1 3 5 9

8 1 3 4

5 0 6 1

8 8 4 0

路径：1 3 1 0 6 1 0路径和最小，返回12

生成和矩阵相同大小的二维表DP，用来记录当前的最小路径和

（以后也不分析暴力的时间复杂度了）

对于普遍的位置i，j，只有i-1,j和i,j-1这两个位置可以一步走到这里，所以

DP[i,j]=min(DP[i,j-1],DP[i-1,j]）+L[i,j]

压缩：我们发现，除了这个位置上本身的数，DP[i,j]只和DP表中左边和上边的值有关，所以可以生成长度为矩阵较小边长一维表，用两层循环。注意顺序，从左向右打表，只有这样，左边的那个元素才是被更新过的，才是本行的左边那个元素。

最左边的DP值是直接累加的，其他位置

For i 0 to 高度:

For j 0 to 宽度

DP[j]=min(DP[j-1],DP[j]）+L[i,j]

时间不变，空间优化到o(较小边长）

第三道萌新题

题干和第一题一样，请返回所有的还钱方法有多少种

经过一二题，应该自己会做了。

（请记住：一般问方法的题目，只需把式子中max或者min改为sum即可）

n=int(input())
dp=[0]*(n+1)
dp[0]=1
tmp=[1,5,10,20,50,100]
for kk in tmp:for i in range(kk,n+1):dp[i]+=dp[i-kk]
print(dp[n])

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