数据结构--堆(Heap)

堆(Heap)

 本文主要介绍以下内容：

Heap的实现
HeapSort（堆排序）
完善各种堆的函数接口
TopK经典问题

堆就是一棵完全二叉树。因为它的某些性质，我们可以用数组存储。

堆的性质
1 完全二叉树的性质。
（1）将根节点（树的最上面的结点）序号设为0，然后由左至右，由上至下编号。
（2）父节点编号若为i，左孩子编号为（21+1），右孩纸为（21+2）；
（3）孩子的编号为i，父亲的编号则为 (i-1)/2 ;

2 父节点大于等于（或者小于等于）所有的子孙。
父节点大于等于子孙的堆叫大堆，反之叫做小堆。

不写代码的程序员不是好程序员，接下来，我们来实现Heap。

Heap的实现

//我们需要大量的函数接口
typedef int HeapDataType;  //增加代码的移植性
typedef struct Heap{      //堆的结构HeapDataType* _a;    //数组int _size;          //堆的实际数据个数int _capacity;      //数组容量
}Heap;//初始化堆//hp是Heap结构体变量， a是数组   n是数组大小void HeapCreat(Heap* hp ,HeapDataType* a ,int n);//入堆void HeapPush(Heap* hp ,HeapDataType x);//从堆中删除void HeapPop(Heap* hp);//为了减少大家的恐惧，我们先写这三个（后面多着呢）。

首先大家应该思考一个问题，我随意给你一个数组，你怎样实现完全二叉树到堆的建立？即，怎样建堆？
这里，我们给大家来一个算法，向下调整算法，我们以建立一个小堆为例。假设有这样一个完全二叉树：

显然这不是一个小堆，因为0号（即编号为0的结点，为了方便叙述）大于1号，所以我将他俩换下位置。

我们先不管其他的，先盯着值为20的结点。我们发现，这时候1号比3和4都大，那么换谁呢？显然换3号，因为3号比4号小！
所以有，

同样的，3号大于7号和8号，交换7号（较小的）。

好了，经过这几步交换，看看我们得到了什么。
好像什么都没得到？不，我们将一个比较大的数字移到了下边，我们用的方法也值得我们将它写下来。

//向下调整算法
//三个参数：数组  ，数组大小  ，  根节点
void AdjustDown(HeapDataType* a, int n, int root)
{int parent = root;int child = parent*2 + 1; //二叉树的性质while(child < n)if(child+1 < n && a[child] > a[child+1])//找出小的孩子{++child;}if(a[parent] > a[child])  //如果父亲大于孩子，则交换{int temp = a[parent];    a[parent] = a[child];a[child] = temp;parent = child;   //迭代child = parent*2 + 1;}else {           //否则任务完成，直接跳出循环。break;}
}

我们在写的时候巧妙运用了 ++child,避免分左右孩子，接下来我们将用这个算法建堆。
我们意识到，如果从根节点向下调整不能建成小堆，但是，可以移动一个较大的数下沉，那么如果我从下开始用这个算法呢？

我们从最后一个有孩子的父节点（3号）开始会怎么样呢？

然后我们到第二个父节点，2号。

接着是1号父节点。

最后0号结点。

我们发现，成了！！！！
这就是我们想要的结果！
代码如下：

void HeapCreat(Heap* hp ,HeapDataType* a ,int n)
{hp->_size = hp->_capacity = n;hp->_a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType));if(hp->_a == NULL) return ;  //防止开辟失败memcpy(ph->_a,a,sizeof(HeapDataType)*n);//拷贝数据//n-1是最后一片叶子的下标，然后利用性质求父节点，依次遍历前面的父节点。for(int i = (n-1-1)/2 ; i >= 0; --i){AdjustDown(hp->_a,hp->_size,i);}
}

好了，小堆也已经建好，那么大堆呢？显然易得，只需改变两个符号即可。

//   a[child] < a[child+1];
//   a[child] > a[parent] ;

好了，接下来，我们来看看堆能干什么呢？找最值！而且是连续的找！
那么这不就是排序吗？
所以接下来为大家介绍堆排序。

HeapSort （堆排序）

我们以降序来举栗子。
首先有一个大问题摆在我们面前，降序使用大堆还是小堆？
这里给大家思考时间。

1

2

3

4

5

我就知道你会选择用大堆！降序不就是每次将最大的值选出来，排在数组头不久ok了？but，真是这样吗？

如果拿走100，然后呢？我们肯定想要那第二大的数作为根，于是70被拿了上来，
But，这样关系全乱了！！！

所以我们还得用向下调整法，但是时间复杂度相当高！
所以，我们用小堆。

我们先排成小堆，

然后怎么做呢？我们只知道4是最小的，它又要求降序，所以我们拿走4，
与最后一个结点交换。
就是

20 7 25 8 14 30 40 10 4

这时候最后一个数最小，然后我们当然要找第二小的。所以我们对除最后一个数进行重建小堆，然后再将根拿到倒数第二个位置，以此类推。堆排序就完成了。

//代码实现
void HeapSort(HeapDataType* hp->_a,int hp->_size)
{for(int i = (hp->_size-2)/2;i>=0;i--){AdjustDown(hp->_a,hp->_size,i);   //建小堆}int end = hp->_size - 1;while(end > 0){              Swap(&hp->_a[0],&hp->_a[end]);  //交换函数 （我懒得写了（嘻嘻））AdjustDown(hp->_a,end,0);     //重建小堆--end;     }
}

result。此时时候已经不早了，是时候来完善我们接下来的接口。

//void HeapSort(HeapDataType* a, int len);堆排
//void AdjustDown(HeapDataType* a, int n, int root);  向下调整
void AdjustUp(HeapDataType* a, int child);  //向上调整
//void HeapCreat(Heap* hp, HeapDataType* a, int n);  建堆
void HeapPush(Heap* hp, HeapDataType x);  //入堆
void HeapPop(Heap* hp);   //从堆中移除
HeapDataType HeapTop(Heap* hp);  //返回堆的根值
int HeapEmpty(Heap* hp);   //判断堆是否为空

注释掉的是我们已经KO掉的，接下来我们挨个解决剩下的。
首先先来入堆。
怎么入堆呢？从根结点上入吗？那么原来的根结点放在哪里呢？
这里我们再来一种算法，向上调整法。

我们将x插入到堆的尾部，然后逐层向上调整。

结果：

//向上调整法
void AdjustUp(hp->_a,child)
{int parent = (child - 1)/2;while(child > 0) {if(a[child] < a[parent]){Swap(&hp->_a[child],&hp->_a[parent]);child = parent;parent = (child - 1)/2;}else break;}
}

  //我们想要将x插入到堆中，使得插入后还是一个堆。//同样的，假设之前是一个小堆。
void HeapPush(Heap* hp, HeapDataType x)
{//首先一个小问题，万一hp->_a 没空间怎么办？if(hp->_size == hp->_capacity){  //空间满了。需要callocint newcapacity = hp->_capacity*2;HeapDataType* HP = (HeapDataType*)calloc(hp->_a,sizeof(HeapDataType)*newcapacity);if(HP == NULL){    //开辟失败return ；}hp->_a = HP;hp->_capacity = newcapacity;   //开辟完成}hp->_a[hp->_size - 1] = x;  //放入数据hp->_size++;        //size加一AdjustUp(hp->_a,hp->_size-1);
}

出堆就比较简单，我们利用堆排的思想，将根节点与尾结点交换，然后向下调整即可。

void HeapPop(Heap* hp)
{Swap(&hp->_a[0],&hp->_a[hp->_size-1]);   //交换根和尾元素hp->_size--;   //干掉尾元素AdjustDown(hp->_a,hp->_size,0); //向下调整。
}

剩下2个更是简单的一批。

HeapDataType HeapTop(Heap* hp)
{return hp->_a[0];
}
int HeapEmpty(Heap* hp)
{return hp->_size == 0 ? 1 : 0;
}

最后我们用堆来解决一道经典问题，TopK问题。
何为TopK问题？ 从一堆数（大于k）中选出前k个大数（或小数）。
比如英雄联盟有一天说要给南京市第一亚索，一直到南京市第10亚索，给这10个玩家颁发奖励，他们先用一套算法算出每个压缩玩家的得分，然后怎么选出前k个呢？

自然而然的想法

排序
我不管你要求什么，只要是数组，排序可以解决大部分问题。实际上这题确实可以排序，但时间复杂度不尽人意，还有更优的解吗？能用堆吗？
堆的性质
我先建一个大堆，找出最高分，然后再找次小的，知道k个玩家找完。这已经不错了，但是还有没有更优的解？或者说，我能不能建造小点的堆（堆的建立算法时间复杂度不是很easy）？
更优的解法

任意取k个玩家的分数建造一个k的小堆，用其他玩家与根节点比较，如果比根节点大，则换掉根节点。然后向下调整成小堆，知道所有玩家比较完毕。

这里要注意的是，我只是找出前k个，并不知道这k个玩家谁更厉害（我没有给这k个玩家排序）。
而且，这并不是绝对的公平，想一想，如果所有人的分数都相同，这个算法不就是随机抽10个人吗？
这就是堆的大部分问题，由于是晚上写的博客，加上对截图工具使用实在粗糙，图有点模糊，如有问题，希望不要介意。
（全文完）