一维傅里叶变换后的复数怎样理解？

我刚开始学傅氏变换也有这样的疑问！
首先回答问题一：为什么一个实信号经过傅氏变换后，再反变换回来得到的是一个复数。
这是由于matlab计算引起的，你在计算傅氏反变换后引入了复数，最后反变换的结果肯定也是复数。

问题二：傅氏变换后的实部和虚部有啥意义？
傅氏变换的思想就来自于高等数学里面的三角级数展开，高等数学里面的级数展开理论是：对于有限区间上的有限信号，都可以展开成以一系列不同正弦和余弦函数的叠加（就是用不同频率的正余弦信号分量叠加就得到了该原始信号）。傅氏变换后得到的复数，实部就代表该频率下的余弦信号分量，虚部就代表该频率下的正弦信号分量。

问题三：复数的模和相位有啥意义？
傅氏变换后得到的复数的模就是该频率下对应的正弦信号的振幅和余弦信号的振幅的绝对值的平方在开根。相位的意义就是该模乘以这个相位角的余弦值就得到了该频率下的余弦信号的振幅，乘以正弦值就得到了该频率下的正弦信号的振幅。

说到频谱，必须提到一个概念

傅里叶变换：很通俗的理解这个概念是怎么理解呢？傅里叶变换是将时域信号转变为频域信号。

什么是时域信号？
时域信号：通俗的理解为随时间变化的量，注意变量是时间。

什么是频域信号？
频域信号：相对于时域信号的理解，那就是可以很简单的认为变量是随频率变化的量，注意是频率。

好像我没怎么解释清楚。看关键看关键，傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换。重要的就是傅里叶变换

式中f(t)代表的是随时间变化的函数，t代表的是时间，w代表的是频率，看到频率了吧，是不是t->w了（时间到频率了），是不是代表了时域信号到频域信号。

好，现在知道傅里叶变换的效果了吧。

我们再来看看时域信号和频域信号之间的关系：

时域—>频域
连续—>非周期
离散—>周期
周期—>离散
非周期—>连续

即时域连续信号，频域是非周期信号；时域离散信号，频域就是周期信号；时域周期信号，频域就是离散信号；时域是非周期信号，频域就是连续信号。

至于为什么?我相信很多人也不怎么清楚，只是把上面的结果给记下来了而已吧。如果想理解深透的话，建议可以去看信号与系统这本书，我还在总结中。

接下来我想简单聊聊我近期对于复数的相关理解。

复数：复数的产生肯定是因为实数信号不足以处理我们碰到的问题才产生的。加入了复数有什么好处呢？ a+bi 就这么简单的式子说明了什么？看上面的傅里叶变换中的j,上面的j和这里的i是相对应的。想到了什么？对，就是欧拉公式

将这里的θ可以变成我们想要的任何参数，如w，是不是就都可以变换了。

相信大家在学傅里叶变换的时候，都知道频谱吧，频谱是由幅度谱和相位谱构成的。在这里，大家可以看看复数，a+bi ，既包含了幅度又包含了相位信息。所以很多时候，我们对信号运算时大多都是复数信号，特别是MATLAB中。

如果错误，望指出，谢谢。

本章所有的滤波都是通过傅里叶变换在频率域中实现的，傅里叶变换在诸如图像增强、图像复原、图像数据压缩等方面起着很重要的作用

傅里叶变换是实现从空域或时域到频域的转换工具

粗浅理解：
上一章的空间滤波是在空域中操作的可以对图像直接进行操作，而这章的频率滤波需要在频域中操作，因此需要借助傅里叶变换得到相应图像的傅里叶变换，然后使用频域滤波对其傅里叶变换进行操作，最后借助卷积定理得到滤波的图像

傅里叶谱：

相角定义：

功率谱：

DFT（Discrete Fourier Transform）：离散傅里叶变换

FFT（Fast Fourier Transformation）:离散傅氏变换（DFT）的快速算法

频谱：频域图像

频率域原点处变换的值[如 F(0,0)]称为傅里叶变换的直流分量

具体傅里叶变换的过程理解过程可参考：
[1] https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/FFT.html
[2] https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html

下面是一段采样频率为44100Hz的离散语音信号.

横坐标是时间，纵坐标是振幅（音量）.

时域可以直观的看出音量关于时间的变化，各个频率（音调）音量的分量看不出来.
这个时候就可以用傅立叶变换把时域信号转化到频域

对于一个很小的时间区间（语音帧）, 音调近似看作不变.

傅立叶变换, 将时域信号分解为不同的频率, 振幅的三角函数.

离散公式表示：

这里的就是虚数, 其中一个是该频率下sin的分量, 另一个是cos的分量.

假设只有一个数的话:
一定过原点，级数也一定过原点，这样的级数就只能描述指定相位的周期函数, 不具有普适性(只能表示频率而丢失了相位的信息).
, 可以表示频率, 也可以表示相位, 这种级数就可以描述任意周期函数.

（一般没有采用这种表示形式的原因是不便于设计算法进行求解。）

虚数列包含了该语音帧各个频率正弦波的振幅和相位.

频率(音调):

振幅(音量):

相位:

某个语音帧的频谱图如下x轴为频率y轴为振幅：

所有谐波震荡中频率最小者称为基本频率(基频)，而基频高低决定了乐器弹奏此音符的音高。几乎所有乐器除了可发出基频音以外亦会伴随着较高频的声音，称为泛音。
理论上，泛音的频率分别为基频的2、3、4、5、6、…等倍。

所有语音帧找到基频，转化为音调，如下图：

频域中关于频率的四种表示方法

1、序号表示方法，根据时域中信号的样本数取0 ~ N/2，用这种方法在程序中使用起来可以更直接地取得每种频率的幅度值，因为频率值跟数组的序号是一一对应的: X[k]，取值范围是0 ~ N/2；
2、分数表示方法，根据时域中信号的样本数的比例值取0 ~ 0.5: X[ƒ]，ƒ = k/N，取值范围是0 ~ 1/2；
3、用弧度值来表示，把ƒ乘以一个2π得到一个弧度值，这种表示方法叫做自然频率(natural frequency)：X[ω]，ω = 2πƒ = 2πk/N，取值范围是0 ~ π；
4、以赫兹(Hz)为单位来表示，这个一般是应用于一些特殊应用，如取样率为10 kHz表示每秒有10,000个样本数：取值范围是0到取样率的一半。

傅里叶变换后，包含实部和虚部。当输入信号是纯实数，按照傅里叶变换的奇偶对称性质，有：输入信号中的偶对称分量变换为实部，奇对称分量变换为虚部。

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