超级跳台阶的动态规划实现

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
实现方式有很多，可以根据推论用位运算、递归、或者直接用pow方法
我这里只要是考虑用动态规划的思路去解决，空间效率不是最好，只是说最近在了解动态规划，所以一题多解嘛

public class Solution {public int JumpFloorII(int target) {if(target==0){return 0;}if(target==1){return 1;}if(target==2){return 2;}//数组下标对应的值代表到达该下标位置的跳法数int[] arrays = new int[target+1];arrays[0]=1; //直接跳到target，永远为1，且计算第i层(除去1，2)都会加要加上这个arrays[1]=1;arrays[2]=2;for(int i=3;i<=target;i++){//下边的循环的意思是第i位置前边的第j(j>=1)个位置对应跳数相加//到j=0时，表示一次性跳到i位置。for(int j=0;j<=i-1;j++){arrays[i] = arrays[j]+arrays[i];}}return arrays[target];/*else{return (int)(Math.pow(2,target-1));}*/}
}

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)

…

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明：

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的跳法数。

2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1），f(2) = f(2-1) + f(2-2)
n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

那么就是
第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);
第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；
第一次3阶，那么剩下f(3-3)

因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)
到这里我们已经可以使用动态规划的方法了，根据n阶数所对应的跳法，可建立线索记忆化的数组
例如当 target = 3 时该数组有长度为4，index=0的值为0，index=1的值为1，index=2的值为2。
由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f((n-1)-(n-1)) +f((n-1)-(n-2))+ … + f(n-2)+ f((n-1)-1)

f(n) = f(n-n) + f(n-(n-1))+…+f(n-2)+f(n-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1)

可以得出：

f(n) = 2*f(n-1) -> f(n)=2^(n-1)。这是一个推出来的公式，然后直接调用pow方法也可以得到结果

if(target==0){return 0;}
return (int)(Math.pow(2,target-1));

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