算法一：递归（包含Hanoi问题、N皇后问题、逆波兰表达式、爬楼梯、放苹果、全排列）
递归
递归在算法中具有很重要的地位，也是很多学习编程的初学者非常头疼的问题，看我的这篇文章，希望能为还处于迷雾中的你带来希望
首先我们要知道递归的作用：
1.可替代多重循环
2.解决本来就是用递归形式定义的问题
3.将问题分解为规模更小的子问题进行求解
其实对于我来说，递归非常重要的原因在于可以替代多重循环，当循环过大时，会给计算机相当大的负荷，一时半会很难出结果，这时候我们就需要运用到递归这个手段。这里我会把知识由浅入深，以举例的方式让各位登堂入室，话不多说，直接上干货。
1.求阶乘
递归的基本概念就是一个函数调用其自身
我们都知道如何求阶乘，这是我们初中数学就学了的内容，那么如何用编程的思维解决这个问题呢
对于递归，我们首先要明确问题是什么，把抽象事物具体化
接下来我们需要厘清递归中的表达式或者关系
然后找到递归结束条件，也就是递归出口——不递归的条件。如果没有递归出口，那么函数只会像一个无底洞，结果大失所望
这是对应的C代码
#include<stdio.h>int Factorial(int n)
{if(n == 0)return 1;elsereturn n * Factorial(n - 1);
}int main()
{printf("%d\n",Factorial(5));return 0;
}
其实递归很耗费内存资源的，因为每次调用一下自身就会需要创建一个新的栈来存放。
为了加深印象，我把程序改一下
#include<stdio.h>int f(int n)
{if(n > 1)f(n - 1);printf("n = %d\n",n);
}int main()
{f(5);printf("%d\n",f(5)); //printf的值是递归函数最后一行的双引号内的字符串的长度 return 0;
}
具体函数调用分析如下图
每次一个递归调用完后，所在的栈空间也会被立即释放，得到的结果会返回上一个栈，直到函数结束
既然基本套路熟悉了，我想带大家聊聊递归中很经典的问题，不用猜也知道，汉诺塔问题
2.Hanoi问题
这个问题为什么说是经典呢，因为它是个简单又很精髓的递归问题
通过该问题，你可以知道递归还有一个重要特点，就是把细节模块化，以整体的思想看待问题。
首先分情况讨论，
1.原目标塔上只有一个盘子，那么我们直接将盘子从A移到C即可
2.原目标塔上有不止一个盘子，又由于大盘在下小盘在下的规定，我们可以先将A座的盘子都移到B座以C为中间“变量”，当A座只剩最后一个盘子，也就是全场最大的盘子，将其移到C座，然后以A为中间“变量”，将B座盘子移到C座
具体C代码如下
#include<stdio.h>void Hanoi(int n, char src, char mid, char dest)
{if(n == 1){printf("%c -> %c \n", src, dest);}else{Hanoi(n - 1, src, dest, mid);
// printf("%c -> %c \n", src, dest);Hanoi(1, src, mid, dest);Hanoi(n - 1, mid, src, dest);}}int main()
{int n;printf("Please enter number : ");scanf("%d",&n);Hanoi(n, 'A', 'B', 'C');return 0;
}
对于递归，记住不要纠结具体细节，把握整体框架最为重要！
这里还有一个小练习，关于求最大公约数的问题，比方说求12和8的最大公约数，你可以先想想，然后再看我的代码答案，记得，要用递归做哦！
#include<stdio.h>int gcd(int a, int b)
{if(b == 0)return a;elsereturn gcd(b, a % b);
}int main()
{printf("%d\n",gcd(12,8));
}
是不是很简单，递归有的时候就有点像函数调用，它只是比较特殊，它只是总是在调用自己罢了。如果除数等于零，那么被除数就是最大公约数，如果除数不等于零，那么就把b的值给a，b的值变为a % b。递归还有一个特点，就是以十分简易的代码实现了值的互换或者修改
3.N皇后问题
N皇后问题是八皇后问题的延伸，要求在NxN格的国际象棋上摆放N个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
#include<stdio.h>
#include<math.h>int queenPos[100];
int N;void NQueen(int k) //在0~k-1行皇后摆好的情况下摆第k行的皇后
{int i;if(k == N){for(i = 0; i < N; i++)printf("%d ",queenPos[i] + 1);printf("\n");}else{for(i = 0; i < N; i++) //逐步尝试第k个皇后的列位置 {int j;for(j = 0; j < k; j++){if(queenPos[j] == i || abs(k - j) == abs(queenPos[j] - i))break;}if(j == k){queenPos[k] = i;NQueen(k + 1);}}}
} int main()
{scanf("%d",&N);NQueen(0);return 0;
}
这里我们不妨设最多有100个皇后，定义数组queenPos[100]，然后再设全局变量N用于记录有多少皇后，NQueen（int k）是用于记录在0~k-1行皇后摆好的情况下摆第k行的皇后。如果全都摆好了，即k == N，那么把可能摆放位置的其中一种输出，如果栈都退完了那么就结束了，否则销毁当前这个栈再往回退栈。如果k != N，那么先循环遍历N个可能的位置给第k行的皇后，然后再把暂时确定的第k行皇后的位置与前k-1行所有皇后比较，如果有产生冲突的则再改变第k行皇后的位置。如果j==k,那么就确定第k行皇后的位置，同时进入下一层NQueen(k+1)。
这就是这个递归的思路
四皇后是N皇后最小的底线，大家可以试一试，答案是
4.逆波兰表达式
逆波兰表达式的定义：
1）一个数是一个逆波兰表达式，值为该数；
2）“运算符 逆波兰表达式 逆波兰表达式”是逆波兰表达式，值为两个逆波兰表达式的值运算结果。
这里我不妨设整个表达式所占的大小不超过20个字符，代码如下：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>double exp()
{char s[20];scanf("%s",s);switch(s[0]){case '+' :return exp() + exp();case '-' :return exp() - exp();case '*' : return exp() * exp();case '/' : return exp() / exp();default : return atof(s);break;}
}int main()
{printf("%lf",exp());return 0;
}
atof()函数是stdlib.h中的函数，将字符串内容转化成double类型。
当输入* + 1 2 - 8 6
结果为
5.爬楼梯
LiHua爬楼梯，每次可以走1级或者两级，要求输入楼梯级数，求不同的走法数
这里我们可以吧问题拆分细小化
n级台阶的走法 = n - 1 级台阶走法 + n - 2 级台阶走法
例如共有5级台阶，可拆分成第一步走一级和第一步走两级的走法，然后再从第一步走一级再细分之后的台阶走法。
C代码如下：
#include<stdio.h>int N;int stairs(int n)
{if(n < 0)return 0;if(n == 0)return 1;if(n == 1)return 1;if(n == 2)return 2;return stairs(n - 1) + stairs(n - 2);
}int main()
{scanf("%d", &N);printf("%d\n", stairs(N));return 0;
}
这里还有一个类似爬楼梯的题目，可以参照这篇博客2020 计蒜客蓝桥杯省赛 B 组模拟赛（一）题解2.爬楼梯
6.放苹果
关于递归最重要的无非是递归表达式和递归终止条件。
首先分析，需要输入苹果数和盘子数。关于两者的数目就存在两种情况：
1、苹果数n大于盘子数m，n > m时，f(n,m) = f(m,m)；
2、苹果数n小于等于盘子数m，n <= m时，f(n,m) = f(n, m - 1) + f(n - m,m),即有盘子为空的放法 + 无盘子为空放法。
详细代码如下：
#include<stdio.h>int f(int n, int m)
{if(n < m)return f(n, n);if(n == 0)return 0;if(m == 0)return 1;elsereturn f(n, m - 1) + f(n - m, m);
}int main()
{int t, n, m, i;scanf("%d", &t);for(i = 0; i < t; i++){scanf("%d %d", &n, &m);printf("%d\n", f(n, m));}return 0;
}
三个苹果三个盘子就是4
经过这么多练习可以发现，递归很多时候都用于直接就出结果，不在意输出过程的题目。
7.全排列
全排列是递归中非常重要的知识点，在深度学习中的用处很广。比方说我对1、2、3、4、5进行全排列，那么如下图所示
首先让第一个位置有n种摆法，然后就只用考虑p+1到q的全排列了，把一个大的全排列分解为一层层嵌套的子问题这便是递归思想，注意最后还要把交换过的元素换回来，要不然会使一些情况重复。
详细代码如下
#include<stdio.h>void swap(int A[], int i, int j)
{int temp = A[i];A[i] = A[j];A[j] = temp;
} void printArray(int A[], int n)
{int i;for(i = 0; i < n; i++){printf("%d ", A[i]);}printf("\n");
}void perm(int A[], int p, int q)
{if(p == q)printArray(A, q + 1);else{int i;for(i = p; i <= q; i++){swap(A, p, i);perm(A, p + 1, q);swap(A, p, i);}}
}int main()
{int A[5] = {1, 2, 3, 4, 5};perm(A, 0, 4);
}
这里还有一个类似的全排列题型，可以参看博文蓝桥杯2015第六届C语言B组省赛习题题解——习题E.九数组分数
这里我列出九数组分数的代码，你们可以观察一下，思路其实都是一样的，先swap然后递归再swap换回来。
#include <stdio.h>void test(int x[])
{int a = x[0]*1000 + x[1]*100 + x[2]*10 + x[3];int b = x[4]*10000 + x[5]*1000 + x[6]*100 + x[7]*10 + x[8];if(a*3==b) printf("%d / %d\n", a, b);
}void f(int x[], int k)
{int i,t;if(k>=9){test(x);return;}for(i=k; i<9; i++){{t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t;}f(x,k+1);t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t; // 填空处}
}int main()
{int x[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};f(x,0); return 0;
}
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