Extreme Points

策略 Strategy

问题的转化
- 如果一个多边形是凸包，那么当且仅当他的所有顶点（vertexvertexvertex）都是极点；
- 问题就转化为甄别极点，那么如何甄别极点呢？
  - In-Trangle Test，如果成立，则不是极点！

`In-Triangle Test`

无罪推论
- 首先假设所有的点都是极点；
- 然后暴力枚举出所有可能的三角形：
  - 逐一判断除这三个点以外的所有极点，如果通过了 In-Triangle Test，则标注为非极点。

`To-Left Test`

实现 In-Triangle Test

将 In-Triangle Test 转化为三次 To-Left Test：
- 对于一个点，如果位于三角形内，那么对于三条边的的 To-Left Test 都会统一的返回 True 或者 False！

777 与 888 的问题

使用三刀最多切出 777 块蛋糕，但是对于三条直线，每一条直线的 To-Left Test 的结果都存在 True 和 False 两种情况，那么就会有 23=82^3 = 823=8 种情况，少的去哪里了？
- 实际上对于三条边来说，当三者的 To-Left Test 的结果都是 False 时，他们划分出的区域没有交集，如下图紫色标记区域：

使用行列式计算有向面积

实现 To-Left Test
- 在已知三角形边长时可以利用海伦公式计算三角形面积：
  S=(p(p−a)(p−b)(p−c))S = \sqrt{(p(p-a)(p-b)(p-c))} S=(p(p−a)(p−b)(p−c))
- 而已知三个点的二维坐标时，可以利用行列式计算三角形的有向面积，而根据有向面积的符号可以判断出是在左还是在右；
- 实际上这种方法的好处是，避免了三角函数和除法，而这两种计算会引入浮点数，降低计算的精度。

另外一种做法
- 实际上使用向量的叉乘也能实现 To-Left Test，当
  a⃗×b⃗>0,(a⃗=pq⃗,b⃗=ps⃗)\vec{a} \times \vec{b} > 0 , \ (\vec{a} = \vec{pq}, \vec{b} = \vec{ps}) a×b>0, (a=pq,b=ps)
  时，结果为 True ！
- 三维向量叉乘的公式：
- 对于二维的向量，则更加直观：
  a⃗×b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣sinθ=x1y2−y1x2\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|sin\theta =x_1y_2 - y_1x_2 a×b=∣a∣∣b∣sinθ=x1y2−y1x2
  - 此时没有第三维 z，计算结果的正负即可表明 a⃗\vec{a}a 与 b⃗\vec{b}b 是否满足夹角 θ\thetaθ 小于 π\piπ，即 s 是否在 pq 左边；
  - 而且实质上，两种方法是等效的，因为二维向量的叉乘等于所构成的平行四边形的有向面积，即三角形的有向面积的两倍：
    
    带入化简，得到的形式与行列式的做法是一致的：
总结

To-Left-Test 可以有两种实现方法，当已知向量时可以直接使用叉乘，而如果只给出了点的坐标，则可使用行列式。

Reference

计算几何 - 邓俊辉

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使用 In-Trangle Test 检测极点

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`To-Left Test`

使用行列式计算有向面积

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