证明可逆矩阵A的各列线性无关

首先需证明一个定理：若A是可逆n×n矩阵，则对每一Rn中的b,方程Ax=b有唯一解x=A-¹b。

先证上述定理：取Rn中的任意一个b,Ax=b有解。

若以A-¹b代x,则Ax=A·(A-¹b)=Ib=b。

说明A-¹b是解（解得存在性）。

再证解得唯一性：若u是一个解，则Au=b,两边同时乘以A-¹,

即A-¹(Au)=Iu=u=A-¹b。所以u=A-¹b,且为唯一解。

以上是开头定理的证明。

根据上述定理知，当取Rn中任意一个b时，设b=0,

则x的唯一解A-¹b=A-¹ ·0 =0,

即对于A的各列的线性组合的权矩阵等于0，

x1·a1+x2·a2+······xp·ap=0,（a1,a2,ap为A矩阵的各列列向量）

x1=x2=······=xp=0;所以可逆矩阵各列线性无关。

有上述知：可逆n×n矩阵A的各列构成Rn的一组基

Rn中子空间H的一组基是H中的一个线性无关集，它生成H

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