title

BZOJ 5109

LUOGU 4061

题意：

一张 \(n\) 个点 \(m\) 条无向边的图，节点编号为 \(1\) 到 \(n\) ，每条边具有一个正整数的长度。

假定大魔王都会从 \(S\) 点出发到达 \(T\) 点（ \(S\) 和 \(T\) 已知），并且只会走最短路，皮皮和毛毛会在 \(A\) 点和 \(B\) 点埋伏大魔王。

为了保证一定能埋伏到大魔王，同时又想留大魔王一条生路，皮皮和毛毛约定 \(A\) 点和 \(B\) 点必须满足：

1. 大魔王所有可能路径中，必定会经过 \(A\) 点和 \(B\) 点中的任意一点；
2. 大魔王所有可能路径中，不存在一条路径同时经过 \(A\) 点和 \(B\) 点；

\(K\) 博士想知道，满足上面两个条件的 \(A,B\) 点对有多少个，交换 \(A,B\) 的顺序算相同的方案。

analysis

这道题有个梗，网友 \(blog\) 说：

所有图都是随机的，所有数据中从 \(S\) 到 \(T\) 的最短路最多只有 1 条，

所以呢，本题其实只需要先特判 \(S\) 和 \(T\) 是否连通，若不连通则输出 \(C^2_n\) ，否则随便找一条 \(S\) 到 \(T\) 的最短路，设路径上的点数为 \(len\) ，输出 \(len*(n-len)\) 即能得到满分。

然而我也没有去试，所以对真伪不知情，只是当个笑话放在这里（现在看来是真的）。

正解的思路真的是很好的。

因为大魔王（话说他是谁？）一定走最短路，所以处理出以 \(S\) 为源点的最短路和以 \(T\) 为源点的最短路，这是很显然的（毕竟我看题后，马上就赶紧敲了这个函数，因为怕后面啥都想不到了）。

这里迎来第一个分界点（其实也比较显然了）：

• 从 \(S\) 到 \(T\) 根本就不联通，这时候答案为 \(C^2_n\) （其实就是上面的话重说一遍，逃。
• 否则（开始正解的道路，不要再看上面的骗分了），
  • 随便找出一条最短路（怎么还一样？），那么最终的 \(A\) 或者 \(B\) 一定有一个点在这条最短路上面（可不一样了吧），我们设在路径上的是 \(A\) 。
  • 于是我们枚举所有点 \(B\) ，考虑它可以搭配哪些合法的点 \(A\) 。
  • 为了满足条件 \(2\) ，可以选择的点 \(A\) 一定在一段区间中（如果能从 \(B\) 走到 \(A\) ，那么 \(B\) 也一定能走到 \(A\) 后面的点；如果 \(A\) 能走到 \(B\) ，那么 \(A\) 前面的点也一定能走到 \(B\) ），我们可以先求出最短路径图，然后在正图和反图上分别跑拓扑排序 \(+DP\) ，就能得出每个 \(B\) 的合法 \(A\) 区间。
  • 这时候再去考虑去满足条件 \(1\) ，可以用拓扑排序求出经过点 \(i\) 的最短路径条数 \(f[i]\) ，那么如果 \(A\) 和 \(B\) 满足条件 \(1\) ，等价于 \(f[A]+f[B]=f[T]\) ，所以可以采用差分的方式，将每个 \(B\) 的 \(f[i]\) 都扔到 \(A\) 区间，枚举所有的 \(A\) ，然后用 \(map\) 当前有多少个点的 \(f[i]\) 等于一个数，每枚举到一个 \(A\) ，就查询一下有多少个点的 \(f[i]\) 等于 \(f[T]-f[A]\) 即可。

这题被 CQzhangyu 测出来所有的图都是随机的，才有了那个梗（当然，这个梗最初也是人家提出来的），真的很厉害！

code

#include<bits/stdc++.h>#define mp std::make_pair
typedef long long ll;
typedef std::pair<ll,int> pli;
const int maxn=1e5+10;
typedef int iarr[maxn];
typedef ll larr[maxn];
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;namespace IO
{char buf[1<<15],*fs,*ft;inline char getc() { return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }template<typename T>inline void read(T &x){x=0;T f=1, ch=getchar();while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();x*=f;}char Out[1<<24],*fe=Out;inline void flush() { fwrite(Out,1,fe-Out,stdout); fe=Out; }template<typename T>inline void write(T x,char str){if (!x) *fe++=48;if (x<0) *fe++='-', x=-x;T num=0, ch[20];while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;while (num) *fe++=ch[num--];*fe++=str;}
}using IO::read;
using IO::write;template<typename T>inline bool chkMin(T &a,const T &b) { return a>b ? (a=b, true) : false; }
template<typename T>inline bool chkMax(T &a,const T &b) { return a<b ? (a=b, true) : false; }int ver[maxn<<1],Next[maxn<<1],head[maxn],len=1;
ll edge[maxn<<1];
inline void add(int x,int y,ll z)
{ver[++len]=y,edge[len]=z,Next[len]=head[x],head[x]=len;
}int n,m,s,t,pre[maxn];//s~t 最短路上的点的前驱
larr dist,d;//dist s为源点的最短路，d t为源点的最短路
bool vis[maxn];
inline void Dijkstra()//分别跑出以 s、t 为源点的最短路
{memset(dist,0x3f,sizeof(dist));memset(vis,0,sizeof(vis));std::priority_queue<pli,std::vector<pli>,std::greater<pli> >q;q.push(mp(0,s)), dist[s]=0;while (!q.empty()){int x=q.top().second;q.pop();if (vis[x]) continue;vis[x]=1;for (int i=head[x]; i; i=Next[i]){int y=ver[i], z=edge[i];if (chkMin(dist[y],dist[x]+z)) q.push(mp(dist[y],y));}}memset(d,0x3f,sizeof(d));memset(vis,0,sizeof(vis));q.push(mp(0,t)), d[t]=0;while (!q.empty()){int x=q.top().second;q.pop();if (vis[x]) continue;vis[x]=1;for (int i=head[x]; i; i=Next[i]){int y=ver[i], z=edge[i];if (chkMin(d[y],d[x]+z)) pre[y]=x, q.push(mp(d[y],y));}}
}iarr deg,lm,rm;
larr f,f1,f2;
inline void Topsort()//拓扑排序
{std::queue<int>q;f1[s]=1, f2[t]=1;//for (int i=1; i<=n; ++i)if (!deg[i]) q.push(i);while (!q.empty()){int x=q.front();q.pop();for (int i=head[x]; i; i=Next[i]) if (edge[i]==-1){int y=ver[i];f1[y]+=f1[x], chkMax(lm[y],lm[x]);if (!--deg[y]) q.push(y);}}for (int x=1; x<=n; ++x)for (int i=head[x]; i; i=Next[i]) if (edge[i]==-2){int y=ver[i];++deg[y];}for (int i=1; i<=n; ++i)if (!deg[i]) q.push(i);while (!q.empty()){int x=q.front();q.pop();for (int i=head[x]; i; i=Next[i]) if (edge[i]==-2){int y=ver[i];f2[y]+=f2[x], chkMin(rm[y],rm[x]);if (!--deg[y]) q.push(y);}}
}std::vector<int> lp[maxn], rp[maxn];
std::vector<int>::iterator it;
std::map<ll,int>M;
int path[maxn],cnt;ll ans;
int main()
{read(n);read(m);read(s);read(t);for (int i=1; i<=m; ++i){int x,y; ll z;read(x), read(y), read(z);add(x,y,z), add(y,x,z);}Dijkstra();if (dist[t]>=inf) ans=1ll*n*(n-1)/2ll, write(ans,'\n');else{for (int i=s; i; i=pre[i]) path[++cnt]=i, lm[i]=cnt+1, rm[i]=cnt-1;for (int i=1; i<=n; ++i) if (!lm[i]) lm[i]=1, rm[i]=cnt;for (int x=1; x<=n; ++x)for (int i=head[x]; i; i=Next[i]){int y=ver[i];if (edge[i]>0 && dist[t]==dist[x]+d[y]+edge[i]) edge[i]=-1, edge[i^1]=-2, ++deg[y];}Topsort();for (int i=1; i<=n; ++i){f[i]=f1[i]*f2[i];if (lm[i]<=rm[i]) lp[lm[i]].push_back(f[i]), rp[rm[i]].push_back(f[i]);}for (int i=1; i<=cnt; ++i){for (it=lp[i].begin(); it!=lp[i].end(); ++it) ++M[*it];ans+=1ll*M[f[t]-f[path[i]]];for (it=rp[i].begin(); it!=rp[i].end(); ++it) --M[*it];}write(ans,'\n');}IO::flush();return 0;
}