【线性代数】第一章 1.3逆矩阵
上一篇: 1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换
目录
一,逆矩阵的概念与性质
二,用行初等变换求逆矩阵
一,逆矩阵的概念与性质
前面我们定义了矩阵的加法,减法和乘法三种运算。自然的,欲在矩阵中引入类似于除法的概念,其关键在于引入类似于倒数的概念。
对于任意方阵A,有AI=IA=A.所以,从矩阵的乘法角度来看,单位矩阵I类似于数1的作用。一个数a≠0的倒数可用来刻画,类似的,我们引入逆矩阵的概念。
定义 设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得AB=BA=I,则称A是可逆矩阵,简称A可逆,并称B是A的逆矩阵。
定理1 设A是逆矩阵,则它的逆矩阵是唯一的。
有定义可知,若B是A的逆矩阵,则A亦是B的逆矩阵,它们互为逆矩阵。
若A可逆,则A的逆矩阵存在,记为,且
要注意的是,并不是所有的矩阵都有逆矩阵,例如矩阵 不可能有逆矩阵,这是因为它与任何二阶矩阵的乘积都不可能为单位矩阵。
我们可以用待定系数法求n阶矩阵的逆矩阵,但当n较大时,工作量很大,并不方便,后面将介绍简便的方法,在此之前,我们要先研究一下逆矩阵的性质。
定理2 设A,B均为n阶可逆矩阵,数≠0,则
1)可逆,且;
2)可逆,且;
3)AB可逆,且
4)可逆,且
初等矩阵是可逆的,且逆矩阵仍为初等矩阵
定理 3 设A为n阶矩阵,则下列各命题是等价的:
1.A是可逆的;
2.齐次线性方程组AX=0只有零解
3.A与I行等价
4.A可表示为有限个初等矩阵的乘积
推论:设A为n阶矩阵,则非齐次线性方程组AX=b有唯一解的充要条件是A可逆
二,用行初等变换求逆矩阵
现在我们介绍一个求的简便方法,设A可逆,故存在初等矩阵使得,即
因此,如果用一系列初等变换将A化为I,则用同样的行初等变换就将I化为.
这就给我们提供了一个计算的有效方法:若对(A,I)施以行初等变换将A变为I,则I就变为I,则I就变成了
例 利用行初等变换求的逆矩阵
值得注意的是:用行初等变换求逆矩阵时,必须始终用行初等变换,期间不能做列初等变换。
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