“函数可导，其导函数是否一定连续”？这个问题的答案是，不一定连续。

有些同学我估计审题就审错了，把这个问题看成了“可导是否一定连续”。排除开这种粗心大意的情况，这个问题还是有点反直觉。首先，看着函数研究它的导函数，本身就隔了一层，需要一些想象力；其次，这个导函数并不普通。

1 可以间断的导函数

讲到不连续，我们脑海中的图像应该是这样的(可去间断点)：

或者是这样的(跳跃间断点):

还有这样的(无穷间断点，我觉得看起来就好像飞机的尾迹):

但是这三种间断点都不能作为导函数，换句话说，存在这三种间断点的函数没有原函数(文章最后会给出证明)。

只有下面这种间断点可能有原函数(振荡间断点)：

至此，我们总结一下(原函数存在法则还是很重要的，虽然《高等数学》同济版上没有提到)：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点没有原函数

振荡间断点可能有原函数

由于导函数存在的间断点的特殊性，并且振荡间断点是很难想象的(间断点的图像实际是画不出来的，现实中我也想不出有啥对应物)，所以我们往往觉得“导函数必定连续”。

下面让我们来研究一下振荡间断点以及原函数存在的情况。

2 振荡间断点的产生

是一个我们非常熟悉的周期函数。它的周期为

：

而

是非一致连续的函数，这个函数有个特点：

所以这两个函数结合起来之后，成为

之后产生了化学反应，

越靠近0，其震荡越厉害，可以自己动手试试：

最后就形成了这样的图像，我们已无法判断函数在0点附近的几何图像：

此时函数在0点振荡间断了。关于

在0点不连续的代数证明可以参看 如何通俗解释海涅定理？ 这篇文章。

3 从振荡间断到连续

将上述函数稍加改造：

因为

，所以

，所以我们用夹逼定理很容易证明我们在上图中构造的

在0点处是连续的。

当我用夹逼定理来看待

的时候，从几何上看就好像夹板把这个弹簧的压缩了一样，下面这个互动我可以玩一天：

可以看出在0点附近，

被夹板压缩了，想振荡也没有空间振荡了，被逼的连续了。

我们继续推一下:

从上面这个式子我们可以看出，

的导数和

、

的导数大有关系。

根据夹逼定理，若夹逼的

、

函数在此点导数存在且相等，则函数在此点可导，导数值为夹逼函数在此点的导数值,我们暂且称它为夹逼定理之导数版。

很遗憾，上面的看法是错误的，根据夹逼定理，

与

不存在的时候，必须用别的方法去判断

：

，即

在

点并不可导。

4 从连续到可导

继续改造

：

我们容易推出，

:

至此，

终于可导了，但是它的导函数：

用海涅定理也很容易证明：

取

。则:

这个极限是不存在的。因此

在

处极限是不存在的，继而

在

处不连续。

5 构造多点不连续的导函数

上面我们从一个周期性函数

,和一个非一致连续的函数

出发,构造出了导函数具有一个间断点的函数。

我们还可以据此，构造出导函数具有两个间断点的函数：

它的导数图像如下:

根据这个方法甚至可以创造导函数具有无穷多个间断点的函数。

6 原函数存在定理的证明

试证明：含有一类间断点、无穷间断点的函数

在包含该间断点的区间内必没有原函数

。

证：假设

为

的原函数

，设

为间断点，分情况讨论：

(1) 设

为第一类可去间断点，有

。而

，使用洛必达法则得到

，即

，矛盾，所以

不存在。

第一类跳跃间断点和无穷间断点同理可证。