高数 08.02 可分离变量微分方程

§第八章第二节可分离变量微分方程\color{blue}{\S 第八章第二节可分离变量微分方程}

变量可分离的微分方程\color{blue}{变量可分离的微分方程}

变量可分离的微分方程dydx=f(x)⋅g(y)解变量可分离方程g(y)dy=f(x)dx变量可分离的微分方程 \\ \dfrac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y) \\ 解变量可分离方程g(y)dy = f(x)dx

分离变量方程的解法:g(y)dy=f(x)dx(1)设y=φ(x)是方程(1)的解,则有恒等式g(φ(x))φ′(x)dx≡f(x)dx两边积分,得∫g(y)dy=∫f(y)dxG(y)F(x)则有G(y)=F(x)+C(2)当G(y)与F(x)可微且G′(y)=g(y)≠0时,上述过程可逆,说明由(2)确定的隐函数y=Φ(x)是(1)的解.同样,当F′(x)=f(x)≠0时,由(2)确定的隐函数x=ψ(y)也是(1)的解.称(2)为方程(1)的隐式通解.分离变量方程的解法:\\ g(y)dy = f(x)dx \quad (1) \\ 设y = \varphi(x)是方程(1)的解,则有恒等式\\ g(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x) dx \equiv f(x)dx \\ 两边积分,得 \underbrace{ \int g(y) dy } = \underbrace{ \int f(y) dx } \\ \qquad \qquad \quad G(y) \qquad \quad F(x) \\ 则有G(y) = F(x) + C \quad (2) \\ 当G(y)与F(x)可微且G^{\prime}(y) = g(y) \neq 0时,上述过程可逆,\\ 说明由(2)确定的隐函数y = \Phi(x)是(1)的解.同样,当F^{\prime}(x) \\ = f(x) \neq 0时,由(2)确定的隐函数x = \psi(y)也是(1)的解. \\ 称(2)为方程(1)的隐式通解.

例1.求微分方程dydx=3x2y的通解.例1.求微分方程\dfrac{dy}{dx} = 3x^2y的通解.
解:分离变量得:dyy=3x2dx两边积分∫dyy=∫3x2dx得ln|y|=x3+C1即y=±ex3−C1y=±eC1ex3令C=±eC1,这时C≠0因为分离变量时,丢掉了y=0时的解y=Cex3(C为任意常数)(此式含分离变量时丢失的解y=0)解:\\ 分离变量得: \dfrac{dy}{y} = 3x^2 dx \\ 两边积分\int \dfrac{dy}{y} = \int 3x^2 dx \\ 得 \ln |y| = x^3 + C_1 \\ 即 y = \pm e^{x^3 - C_1} \\ y = \pm e^{C_1} e^{x^3} \\ 令C = \pm e^{C_1} ,这时C \neq 0\\ 因为分离变量时,丢掉了y = 0时的解 \\ y = Ce^{x^3} (C为任意常数) \\ (此式含分离变量时丢失的解y = 0)

例2.解初值问题{xydx+(x2+1)dy=0y(0)=1例2.解初值问题\left \{ \begin{array}{l} xydx + (x^2 + 1)dy = 0 \\ y(0) = 1 \end{array} \right.
解:分离变量得dyy=−x1+x2dx两边积分得:ln|y|=ln1x2+1−−−−−√+ln|C|即yx2+1−−−−−√=C(C为任意常数)由初始条件C=1,故所求特解为yx2+1−−−−−√=1解:\\ 分离变量得 \dfrac{dy}{y} = -\dfrac{x}{1 + x^2} dx \\ 两边积分得: \ln|y| = \ln \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + \ln|C| \\ 即 y\sqrt{x^2 + 1} = C (C为任意常数)\\ 由初始条件C = 1,故所求特解为\\ y\sqrt{x^2 + 1} = 1

例3.求方程dydx=ex+y的通解.例3.求方程\dfrac{dy}{dx} = e^{x + y}的通解.
解:解法1：分离变量得:dyey=exdx两边积分得:∫dyey=∫exdx−e−y=ex+C即(ex+C)ey+1=0解法2：令u=x+y,则u′=1+y′故有u′=1+eu积分∫du1+eu=x+C1u−ln(1+eu)=x+C1ln(1+ex+y)=y−C1所求通解为:y−ln(1+ex+y)+C=0(C为任意常数)解:\\ 解法1：\\ 分离变量得: \dfrac{dy}{e^y} = e^x dx \\ 两边积分得: \int \dfrac{dy}{e^y} = \int e^x dx \\ -e^{-y} = e^x + C \\ 即 (e^x + C)e^y + 1 = 0 \\ 解法2：\\ 令u = x + y,则u^{\prime} = 1 + y^{\prime} \\ 故有 u^{\prime} = 1 + e^u \\ 积分 \int \dfrac{du}{1 + e^u} = x + C_1 \\ u - \ln(1 + e^u) = x + C_1 \\ \ln (1 + e^{x + y}) = y - C_1 所求通解为:y - \ln (1 + e^{x + y}) + C = 0(C为任意常数)

内容小结
1.微分方程的概念
微分方程;阶;定解条件;解;通解;特解
说明:通解不一定是方程的全部解.
例如,方程(x+y)y′=0有解y=−x,及y=C,后者是通解，但不包含前一个解.例如,方程(x + y)y^{\prime} = 0有解\\ y = -x,及y = C,后者是通解，但不包含前一个解.
2.可分离变量方程的求解方法:
分离变量后积分;根据定解条件确定常数.

练习
1.已知一阶微分方程dydx=2x1.已知一阶微分方程 \dfrac{dy}{dx} = 2x
(1)求通解;(1)求通解;
(2)求过点(1,4)的特解;(2)求过点(1, 4)的特解;
(3)求出与直线y=2x+3相切的解.(3)求出与直线y =2x + 3相切的解.
解:(1)分离变量:dy=2xdx两边积分∫dy=∫2xdx通解:y=x2+C(C为任意常数)(2)4=12+C,C=3特解方程y=x2+3(3)切点斜率2x=2,解得切点坐标(1,5)5=12+C,C=4y=x2+4解:\\ (1) 分离变量: dy = 2xdx \\ 两边积分 \int dy = \int 2xdx \\ 通解:y = x^2 + C (C为任意常数) \\ (2) 4 = 1^2 + C, C = 3 \\ 特解方程 y = x^2 + 3 \\ (3) 切点斜率2x = 2, 解得切点坐标(1, 5)\\ 5 = 1^2 + C, C = 4\\ y = x^2 + 4