作者：SovietPower✨
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来源：牛客网

度数序列

对于无向图，

为每个点的度数。有

（每条边被计算两次）。有偶数个度数为奇数的点。

Havel–Hakimi算法

给定一个由有限多个非负整数组成的度数序列，是否存在一个简单图使得其度数序列恰为这个序列。

令

为有限多个非负整数组成的非递增序列。

可简单图化当且仅当有穷序列

只含有非负整数且是可简单图化的。

序列

可简单图化是指存在一个无向图（无重边无自环），使得其度数序列恰为

。

（这个其实就是很显然的东西。。主要是一个定义）

Erdős–Gallai定理

令

为有限多个非负整数组成的非递增序列。

可简单图化当且仅当这些数字的和为偶数，且

，对于任意

都成立。

也不难理解。对前

个点分配度数，除了两两能连

条边外，剩下的度数由后面点的度数补。

因为

非递增，从小到大枚举

，维护

后缀与

取

的和（

都是单调的，维护从哪开始

的结果是

）。就可以

判断了。

例题：Good Bye 2018 E，NEERC2013 K.Kids in a Friendly Class。

欧拉路与欧拉回路

给定一张无向/有向图，求一条经过所有边恰好一次的回路。有解当且仅当所有点 度数为偶数(无向)/入度等于出度(有向)。任选一点开始dfs，每条边只经过一次。回溯时将回溯的边加入队列，最后队列的逆序就是答案。时间复杂度

。

欧拉路径也可以用一样的方法求出（找度数为奇数的点进行DFS）。

欧拉回路：

• 有向图：所有点的出度入度都相等；从任意一点都可实现。
• 无向图：所有点度数都为偶数。

欧拉路：

• 有向图：有两个点可以入度出度不相等（差不大于一），即起点终点；起点入度小于出度，终点入度大于出度 。
• 无向图：仅有两个点度数为奇数。

注：必须为连通图（用并查集判断）。

两笔画问题：

有解当且仅当入度为奇数的点不超过四个。将其中两个点加一条边后求欧拉路径，然后在这条边处断开成两条欧拉路即可。时间复杂度

。

题目：UOJ#117(模板)、题集。

Prufer序列

这里很全，可以看这儿。

Defination：

Prufer序列是一种无根树的编码表示。

对于一棵

个点的无根树，对应唯一一串长度为

的

序列。

无根树转

序列

定义无根树中度数为

的节点是叶子节点，每次找到编号最小的叶节点删除，在序列中添加与之相邻的点。如此重复直到剩下最后两个节点。

上图对应无根树的

序列为

。

序列转有根树

给定点集

，

序列

。

每次取出

序列中的第一个元素

，在

中找在当前

序列中没有出现的第一个元素

，在

和

间连一条边；将

从

序列中删除，

从

中删除。最后

中还剩下

个元素，在这

个元素间连一条边。

生成树计数

Cayley定理：完全图的生成树个数为

。如果每个点的度数为

，那么生成树个数为

。每个连通块大小为

，那么添加一些边将这些连通块连通的生成树个数为

。

题目：题集。

Matrix-Tree定理

无向图生成树计数：令

（基尔霍夫矩阵=度数矩阵-边矩阵），然后去除

的任意一行一列得到

，

的行列式即生成树个数。

有向图生成树计数：与无向图不同的是，

矩阵为入度/出度矩阵分别对应外向树/内向树。且删掉第

行第

列表示以

为根节点的生成树个数。

题目：题集。

最小生成树 Borůvka算法

一开始每个连通分量是一个点本身。

每轮枚举所有属于不同连通分量的边，每个连通分量选择和其他连通分量相连的最小的边，然后合并。

每轮连通块个数至少减半，所以最多进行

轮。时间复杂度

。

具体实现直接用并查集即可。代码可以看这里。

题目

一般用来做边权与点权相关，还是个完全图，求MST的题？

1. 有

个点的完全图，每个点的权值为

，两个点之间的边权为

。求这张图的最小生成树。

2.CF888G。有一张

个点的完全图，每个点的权值为

，两个点之间的边权为

。求该图的最小生成树。

。

最小瓶颈生成树

使得生成树树上最大边权值最小。

方法1：最小生成树一定是最小瓶颈生成树。

方法2：二分答案，看点是否连通。

方法3：类比找第k大值的方法(`nth_element`)，首先随机一个边权$w$。然后将不超过这个边权的边加入，遍历这张图。

如果图连通，那么瓶颈不超过$w$，于是只需考虑边权不超过$w$的边；否则将这些连通点缩起来，考虑边权大于$w$的边。

每次将问题的规模缩小至一半。期望时间复杂度$T(m)=T(frac m2)+O(m)=O(m)$。

单源最短路(SSSP)

（贪心）或者

（动态规划）。

时间复杂度

或者

。

一些变种

边权是

：双端队列，如果是

在头部插入，否则在尾部插入。

最长路径不超过

, 正权图：使用

的桶+链表维护这些点（代替堆），时间复杂度

。

关于判负环

复杂度

。代码实现可以记录最短路树上的深度来判环，而不是入队次数，这样会有优化。

if (dis[v] > dis[u] + w)
{dis[v] = dis[u] + w;dep[v] = dep[u] + 1;if (dep[v] > n) return;
}

差分约束

大体过程：（具体可以看这里）

考虑最短路中的松弛操作：

，也就是强制使得

满足

。

所以对于

的限制，可以连一条边

。这样求

的最大值，就是求

的最短路。

如果限制是

，同理连边

。

的最小值就是求

的最长路。

如果两种限制都有，就把

变成

。

解的存在性：

比如求

的最大值：若图中存在负环，则

的最短路无穷小，则不存在最大值（无解）。若

和

就不在同一连通块，则

的最短路无穷大，最大值无穷大（或者存在无数多解）。

否则有解。

PS：

可以根据入队次数判负环，也可以据此判正环。虽然效率都不高就是了。

不能求最长路（本质是贪心）。

如何判断解唯一：

对原图求一遍最短路。将原图取反，边权取反，求一遍最长路。

一个标号对应的是能取到的最小值，一个是最大值。

如果相同则解唯一。（没什么用）

题目：题集。

多源最短路(APSP)

算法（可用于负权图）：

算法

原理：首先给图中每个点一个权值

，把每条边的边权

改成

。

对于$

的一条路径

，权值为

所以这么做不会改变最短路。（具体也可以看这里）

实现：第一次SPFA预处理$1$到每个点的距离

，记

。然后把边权

改为

。

其中$

为给每个点设定的权值，

。

由不等式可以得到

，也就是改完之后所有边权非负。

之后可以每个点用

跑。就是

啦。

这样也可以实现

跑费用流。

半径 直径 (正权图)

（后面可能就直接抄dls课件了QAQ）

的偏心距

直径

半径

中心

（要求定义在点上）

绝对中心（可以定义在边上）

绝对中心

相关：求最小直径生成树（差不多）。

实现：固定一条

，考虑上面的点

的偏心距。

假设第三个点是

，

。

那么对应的折线为

。

那么偏心距为

条折线的最大值形成的折线。

按左端点排序维护一下。时间复杂度

最小直径生成树

即绝对中心的最短路树。

如何证明？

注意一棵树

的直径为半径的两倍(对绝对中心来说)。如果最小直径生成树$T’$不包含绝对中心，那么取

的绝对中心

，显然矛盾。

拓扑排序

每次去掉图中入度为$0$的点。

时间复杂度

。

如果最后不为空集，那么这个图不为DAG。（否则每个点入度不为0，即每个点可以选择一个前趋，沿着前趋走根据抽屉原理一定能找到相同点，也就是一个环。）

按照反图DFS，出栈序列就是一个合法的拓扑序列。

scc缩点顺序也是一个合法拓扑序。

求字典序最小的拓扑序

每个点有不同的标号，要使得拓扑序最小。

将拓扑排序的队列改成优先队列即可。

最小拓扑序的一个变种

使得最后的拓扑序中1的位置尽量靠前，如果相同比较2的位置，依次类推。

首先考虑如何求1最早出现的位置，可以将原图反向，然后每次弹除了1之外的元素，直到队列只剩下1为止。

这是反图中1的最晚的出现的位置，也就是原图中最早的。

根据是否在队列里，这个图被分成两部分，在对应的图中用同样的方法处理2，依次类推。

容易发现每次找尽量大的元素出队，能完成上述的过程。

所以等价于反图最大字典序。

题目：题集。

二分图匹配

Hall's marriage theorem（霍尔定理）

对于一个二分图

，记

为

的一个子集，

为所有

中所有点的相邻点的并集。

一个图有完备匹配当且仅当

的所有子集

都有

。

对一般图的推广：

推论：每个正则二分图都有完备匹配。

Kőnig's theorem

最小点覆盖=最大匹配 (与最大流最小割定理等价)

最大独立集=点数-最大匹配 (独立集为点覆盖的补集)

最小边覆盖=最大独立集 (独立集中每个点需要一条边去覆盖)

DAG最小路径覆盖

覆盖所有的边：每条边下界设为1, 然后求最小流。

覆盖所有的点：建立二分图，对于

的边，看做二分图中的

，然后答案为点数-最大匹配。

定理: 最大反链=最小链覆盖；最短的最长链=最小反链划分数-1（？存疑。见BZOJ4160）。（当然这个不应该只放在二分图部分的）

题目：题集。

连通分量

强连通分量

。

将一个图的所有强联通分量缩起来会得到一个DAG。

双联通分量

点连通度: 最小的点集使得删去之后图不连通

边连通度: 最小的边集使得删去之后图不连通

如果一个图的点连通度大于1，那么是点双连通的，边连通同理。

双联通分量为图中的极大双联通子图。

割点和桥

考虑DFS树，每条非树边对应着一个点到祖先的路径。对于一条非树边只要把对应的边打上标记即可。

比如对于$(u,v)$这条非树边，只要在$u$点打上$+1$的标记，$v$点打上$-1$的标记。

$x$到$fa[x]$的树边的覆盖次数为子树内所有标记的和。

割点同理（注意特判根节点和叶节点）。

（emm没看懂下面要干嘛）

题目：题集。

2-SAT

一堆变量的二元限制，问是否存在合法的赋值。

题目：例题，题集。

曼哈顿距离与切比雪夫距离

将原坐标系每个点的坐标

变为

，则原坐标系中的曼哈顿距离等于新坐标系中的切比雪夫距离。

反过来，将原坐标系每个点的坐标

变为

，则原坐标系中的切比雪夫距离等于新坐标系中的曼哈顿距离。

例题：BZOJ3170 松鼠聚会。

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