朴素贝叶斯是一种很简单的分类方法，之所以称之为朴素，是因为它有着非常强的前提条件-其所有特征都是相互独立的，是一种典型的生成学习算法。所谓生成学习算法，是指由训练数据学习联合概率分布P(X,Y)，然后求得后验概率P(X|Y)。具体来说，利用训练数据学习P(X|Y)和p(Y)的估计，得到联合概率分布：

概率估计可以是极大似然估计，或者贝叶斯估计。

假设输入 X 为n维的向量集合，输出 Y 为类别，X 和 Y 都是随机变量。P(X,Y)是X和Y的联合概率分布，训练数据集为：

首先，我们要明确我们求解的目标是：，即给定某个输入X，我们要判断其所属类别Ck。由概率论知识，我们有：

其中，

代入公式得：

这是朴素贝叶斯分类的基本公式。于是，朴素贝叶斯分类器可以表示为

由于，分母对所有的Ck都是相同的，所以

那么如果给定一个输入 X，我们只需要找到一个类别Ck，使得最大。那么Ck，就是 X 的最佳类别了。

下面我们来讲讲朴素贝叶斯法的参数估计，为什么要估计朴素贝叶斯的参数呢，这些参数是什么？首先，我们要明确。现实中，给定我们一批数据，我们就知道其分布，但是具体的数据分布的概率我们是不知道的。也就是说先验概率和条件概率我们是不知道的，这就需要我们来利用其数据的分布估计其先验概率和条件概率了。统计学习中最常用的参数估计就是极大似然估计了，这里我们也可以用贝叶斯估计，其实就是在极大似然估计基础上添加了拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)。

由于极大似然估计之前已经讲到过，这里公式我也没有具体来推，所以先验概率和条件概率直接给出来。

先验概率P(Y = Ck)和条件概率的极大似然估计如下：

这样，给定具体的数据，我们就可以估计其先验概率和条件概率，进而计算出后验概率得到所属类别。

同样，贝叶斯估计和极大似然估计差不多，贝叶斯估计只是在极大似然估计上添加了一个拉普拉斯平滑。具体如下：

条件概率的贝叶斯估计如下：

先验概率的贝叶斯估计如下：

下面来给出一个简单的朴素贝叶斯实现代码，代码比较容易理解。只是课本上给出的特征是离散的，而code里面的特征是连续的。原理上其实是一样一样的~

1: % NAIVE BAYES CLASSIFIER

2:

3: clear

4: tic

5: disp('--- start ---')

6:

7: distr='normal';

8: distr='kernel';

9:

10: % read data

11: White_Wine = dataset('xlsfile', 'White_Wine.xlsx');

12: X = double(White_Wine(:,1:11));

13: Y = double(White_Wine(:,12));

14:

15: % Create a cvpartition object that defined the folds

16: c = cvpartition(Y,'holdout',.2);

17:

18: % Create a training set

19: x = X(training(c,1),:);

20: y = Y(training(c,1));

21: % test set

22: u=X(test(c,1),:);

23: v=Y(test(c,1),:);

24:

25: yu=unique(y);

26: nc=length(yu); % number of classes

27: ni=size(x,2); % independent variables

28: ns=length(v); % test set

29:

30: % compute class probability

31: for i=1:nc

32: fy(i)=sum(double(y==yu(i)))/length(y);

33: end

34:

35: switch distr

36:

37: case 'normal'

38:

39: % normal distribution

40: % parameters from training set

41: for i=1:nc

42: xi=x((y==yu(i)),:);

43: mu(i,:)=mean(xi,1);

44: sigma(i,:)=std(xi,1);

45: end

46: % probability for test set

47: for j=1:ns

48: fu=normcdf(ones(nc,1)*u(j,:),mu,sigma);

49: P(j,:)=fy.*prod(fu,2)';

50: end

51:

52: case 'kernel'

53:

54: % kernel distribution

55: % probability of test set estimated from training set

56: for i=1:nc

57: for k=1:ni

58: xi=x(y==yu(i),k);%the feature of dimension-k with respect to label yu(i)

59: ui=u(:,k);

60: fuStruct(i,k).f=ksdensity(xi,ui);

61: end

62: end

63: % re-structure

64: for i=1:ns

65: for j=1:nc

66: for k=1:ni

67: fu(j,k)=fuStruct(j,k).f(i);

68: end

69: end

70: P(i,:)=fy.*prod(fu,2)';

71: end

72:

73: otherwise

74:

75: disp('invalid distribution stated')

76: return

77:

78: end

79:

80: % get predicted output for test set

81: [pv0,id]=max(P,[],2);

82: for i=1:length(id)

83: pv(i,1)=yu(id(i));

84: end

85:

86: % compare predicted output with actual output from test data

87: confMat=myconfusionmat(v,pv);

88: disp('confusion matrix:')

89: disp(confMat)

90: conf=sum(pv==v)/length(pv);

91: disp(['accuracy = ',num2str(conf*100),'%'])

92:

93: toc

1: function confMat=myconfusionmat(v,pv)

2:

3: yu=unique(v);

4: confMat=zeros(length(yu));

5: for i=1:length(yu)

6: for j=1:length(yu)

7: confMat(i,j)=sum(v==yu(i) & pv==yu(j));

8: end

9: end

如果想要实验数据的话，请在博客下面评论区域注明，我看到了会第一时间上传。