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统计学习方法与Python实现(三)——朴素贝叶斯法
1、定义
朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。
对于给定的训练数据集,首先基于特征条件独立假设学习输入输出的联合概率分布。然后基于此模型,对给定的输入x,利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出y,从而进行决策分类。
朴素贝叶斯法学习到的是生成数据的机制,属于生成模型。
设Ω为试验E的样本空间,A为E的事件,B1~Bn为Ω的一个划分,则有全概率公式:
2、学习与分类
对于训练数据集:
。
我们的目的是从训练集中学习到联合概率分布P(X, Y),为此先学习后验概率分布和条件概率分布。
后验概率分布,即类标签Y的概率分布,条件概率分布即在类标签Y确定的情况下输入特征向量x的分布。
从中学习后验概率分布:
从中学习条件概率分布:
条件概率分布的参数是指数级数量的,对其进行参数估计是不可能的。因此,对条件概率分布做独立性假设,认为输入特征向量x的各个分量是独立的,这也是“朴素”的含义。这样做简化了模型,但是也牺牲了分类的准确率。
条件独立性假设:
朴素贝叶斯法进行分类时,对于输入特征向量x,通过学习到的模型计算后验概率
。主要是之前学习的后验概率
和条件概率
,带入全概率公式,可得输入x的条件下,输出y取各个值的概率,并且将概率最大的y作为分类结果。
朴素贝叶斯法分类的基本公式为:
朴素贝叶斯分类器为:
分母为定值,则进一步简化可得:
3、分类方法的含义
一般的分类方法都有损失函数的概念,优化的目标也是最小化损失函数。朴素贝叶斯法直接要求将实例分到后验概率最大的类中有何含义?实际上,这也等价于期望风险即损失函数最小化。
如果对模型f(X)取0-1损失函数L(Y,f(X)),即分类正确损失L取0,分类错误L取1。则期望风险函数为:
因为每个输入特征向量x是独立的,因此只需对每个X=x的实例进行极小化。
即推导得到了后验概率最大化准则。
4、参数学习
参数学习即确定每个先验概率和条件概率,一般用极大似然估计法。
先验概率P(Y = ck)的极大似然估计是:
条件概率
(即Y取ck时X的第j个特征取第l个值的概率)的极大似然估计是:
其中,函数I(.)表示当括号内的条件满足取1,不满足取0。
朴素贝叶斯算法为:
a、对于给定的训练数据集,计算先验概率和条件概率。
,
b、对于给定的实例x,计算
c、确定实例x的类
5、贝叶斯估计
极大似然估计可能会使所要估计的概率为0的情况,这时会导致计算条件概率时分母为0,使分类出现偏差。可以用贝叶斯估计来解决此问题,即在随机变量各个取值的聘书上加一个正数λ。λ取0时为极大似然估计,λ取1时为拉普拉斯平滑。贝叶斯估计下的条件概率为:
贝叶斯估计下的先验概率为:
6、Python实现
数据集选择mnist手写数字集,数据集中为0~255的整数,先读入数据并对其进行0-1二值化。并初始化数组记录条件概率和先验概率。
from tensorflow.keras.datasets importmnistimportnumpy as np
(train_data, train_label), (test_data, test_label)=\
mnist.load_data(r'E:\code\statistical_learning_method\Data_set\mnist.npz')#训练集和测试集大小
train_length = 60000test_length= 10000size= 28 * 28 #输入特征向量长度
data_kind = 10 #分为几类
choice = 2 #每个向量有几种取值
lam = 1 #贝叶斯估计中的lamda
#预处理数据
train_data =train_data[:train_length].reshape(train_length, size)#数据二值化
np.place(train_data, train_data > 0, 1)
train_label= np.array(train_label, dtype='int8')
train_label=train_label[:train_length].reshape(train_length, )
test_data=test_data[:test_length].reshape(test_length, size)
np.place(test_data, test_data> 0, 1) #数据二值化
test_label = np.array(test_label, dtype='int8')
test_label=test_label[:test_length].reshape(test_length, )#初始化数组记录条件概率和先验概率
P_con =np.zeros([data_kind, size, choice])
P_pre= np.zeros(data_kind)
然后在训练集上进行学习,计算先验概率和条件概率。
#计算先验概率
def compute_P_pre(label, P_init, lamda=1):
pre=P_initfor la inlabel:
pre[int(la)]+= 1pre+=lamdareturn pre / (label.shape[0] + pre.shape[0] *lamda)#计算条件概率
def compute_P_con(data, label, P_init, lamda=1):
con=P_init
summ=np.zeros(P_init.shape[0])for index, value inenumerate(data):for jndex, dalue inenumerate(value):
con[int(label[index]), jndex, int(dalue)]+= 1summ[int(label[index])]+= 1con+=lamda
summ+= lamda * 2
for index, value inenumerate(con):
con[index]/=summ[index]return con
最后,在测试集上进行测试。
#进行测试
defBayes_divide(pre, con, test, label):
acc=0
ans= np.full(test.shape[0], -1)
P_div=np.ones([test.shape[0], pre.shape[0]])for index, value inenumerate(test):for times inrange(pre.shape[0]):for jndex, dalue inenumerate(value):
P_div[index, times]*=con[times, jndex, int(dalue)]
P_div[index, times]*=pre[times]for index, temp inenumerate(P_div):
ans[index]=temp.argmax()if ans[index] ==label[index]:
acc+= 1
return acc /label.shape[0], ans
P_pre= compute_P_pre(train_label, P_pre, lamda=lam)
P_con= compute_P_con(train_data, train_label, P_con, lamda=lam)
acc, ans=Bayes_divide(P_pre, P_con, test_data, test_label)print('acc', acc)
lam=1时的测试结果为acc=0.8413。
更改lam的值,lam=0时,acc=0.8410;lam=2时,acc=0.8411;lam=5时,acc=0.8407;lam=10时,acc=0.8399。总的而言影响不大。
7、生成模型
因为朴素贝叶斯方法是生成模型,所以可以通过训练好的模型生成出模型学习到的特征,也就是生成模型认为最像某个数字的图像。最简单的思想就是,因为我们假设输入特征向量x的各个维度的值是独立的,所以可以输入一个初始向量,然后比较每个维度上取0或1时,模型输出的概率大小,然后将各个维度的值置为更大的概率所对应的值。代码实现如下:
from skimage importioimportmatplotlib.pyplot as plt#测试输入数据被识别为goal的概率
deftest(data0, goal, pre, con):
P_gene= 1
for index, value inenumerate(data0):
P_gene*=con[goal, index, int(value)]
P_gene*=pre[goal]returnP_gene#初始化输入为全0向量
gene =np.zeros([data_kind, size])for goals, sim inenumerate(gene):
temp=sim#遍历向量
for index inrange(sim.shape[0]):
ans1=test(temp, goals, P_pre, P_con)
temp[index]= 1ans2=test(temp, goals, P_pre, P_con)if ans1 >ans2:
temp[index]=0#画出生成的图像
for i in range(gene[:10].shape[0]):
draw=gene[i][:, np.newaxis]
draw= draw.reshape([28, 28])
plt.subplot(1, 10, i+1)
plt.axis('off')
io.imshow(draw)
plt.tight_layout()
最后的输出结果为:
参考:李航 《统计学习方法(第二版)》
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