1.极限——ε-δ例子

在微积分的课本中，经常可以见到这种问题：

$\lim_{x \to 1}\frac{(3x-1)}{x-1}$

你可能会说，为什么分子分母都有(x-1)呢？

很明显，分母不能为0，如果函数x=1时，是没有定义的。如果把(x-1)消掉，仅仅用3x的话，实际上除了x=1有个空洞外，

它和y=3x是一样的，而在函数无定义处取极限是很有趣的。

书上的要求是要证明这个极限。但我们应该知道这个极限应该等于3。

我们来证明一下：

我们来用极限的 $\epsilon - \delta$ 定义。

证明：

如果给定一个 $\epsilon >0$ ，存在一个 $\delta > 0$ ，

记住， $\epsilon$ 决定决定f(x)距极限值的距离。

$0<|x-1|<\delta \Rightarrow |\frac{3x(x-1)}{x-1}-3|<\epsilon$

只要x和极限点的距离，也就是x和1的距离小于 $\delta$ 。（记住，x不能正好取在极限点上，因为那里函数无定义）

这个函数值和极限值的距离也就是和3的距离。

接下来我们把 $|\frac{3x(x-1)}{x-1}-3|<\epsilon$ 作为突破口。我们先消掉(x-1)。这时你可能会说，我们不能这么做，当x不等于1才能消掉。

不用担心，现在是可以消去的，因为我们考虑只是x趋向于1，并不包括x=1。

我们来化简：

$|\frac{3x(x-1)}{x-1}-3|<\epsilon \Leftrightarrow |3x-3|<\epsilon \Leftrightarrow$

$|3(x-1)|<\epsilon \Leftrightarrow |3||x-1|<\epsilon\Leftrightarrow|x-1|<\frac{\epsilon }{3}$

我们得到了：

$|\frac{3x(x-1)}{x-1}-3|<\epsilon$ $IFF$ （等价于） $|x-1|<\frac{\epsilon }{3}$

也就是说，当x和1的距离小于 $\frac{\epsilon }{3}$ 时，这个式子成立。

所以我们可以取 $\frac{\epsilon }{3}$ 为我们的 $\delta$ ，记住，关键点在于：给出一个 $\epsilon$ ，也就是给定一个距离。

函数值和极限点的距离小于给出的数，也就是函数值至少和极限值相距那么近。

$|\frac{3x(x-1)}{x-1}-3|$ 就是函数值和极限值的距离。那么根据我们得到的 $|x-1|<\frac{\epsilon }{3}$ ，我们可以说：

当x和1的距离（或者可以说x和极限点的距离）小于 $\frac{\epsilon }{3}$ 的时候才能满足要求。所以完成了这个数学证明过程。

我把这个方程画出来，有助于理解：

假设 $\epsilon=1$ 时，我们得到： $|\frac{3x(x-1)}{x-1}-3|<1 IFF|x-1|<\frac{1}{3}$

如果想函数和极限值的距离不超过1，也就是说 $\epsilon=1$ ，所以这段距离是1，如图：

确保函数值和极限值的距离不超过1，只需要取它的三分之一。也就是x和1这段距离是它的三分之一。

或者这么说，把 $\epsilon$ 放入图中，可以得到如图：

这样就完成了证明，因为这意味着无论给出什么 $\epsilon$ 都可以找到一个 $\delta$ ，因为无论给出的是多少，总可以找到对应的 $\delta$ 。

所以这就是利用极限的 $\epsilon - \delta$ 定义。证明了该函数，当x趋近1时的极限值是3。

——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。

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