什么是向量积？

向量积的定义

向量积的计算

什么是向量积？

还有一种常见的向量乘法，尤其在工程物理和计算图形领域很常见，这种方法叫做 向量积。

向量积在三维线性代数中非常有用，但无法类推到多维空间。

从几何角度看，两个向量v 和 w 的向量积，是与 v 和 w 都正交的向量：

以下是求大小， $sin\theta$ 是 v 和 w 的夹角：

请注意，这里和点积不一样，向量积的输出是向量，不是数字。

向量积的定义

我们来仔细看看定义：

请注意，如果 $\theta$ 为 0 或 $\pi$ （即 0 或 180°），那么向量积的大小将为0。如图：

换句话说，两个平行向量的向量积是零向量。

此外，如果 v 或 w 是零向量，那么向量积也是零向量：

假设不是以上那些特殊情形，注意：实际上，有两个向量满足到目前为止的几何描述。

这两个蓝色的向量相互之间是负数：

为了判断要使用哪个向量，我们采用右手规则。如图：

右手规则，原理如下：

如果向量积是 v x w 想象右手大拇指指向 v 的方向，右手食指指向 w 的方向，然后伸出右手中指，中指所指的方向就是向量积的方向，所以这里是向上的。

请注意：如果我们将向量积交换为 w x y，那么使用右手规则将得出指向下方的向量。这样可以给出等式：

因为交换乘法顺序会使积变成负数，我们称向量积为反交换的与可交换的点积对立。交换点积顺序不会影响结果。

向量积的计算

上图的几何公式的结果可以从 v 和 w 形成的平行四边形中看出。如图：

向量 v 的长度是平行四边形的底：

平行四边形的高是这个线段：

根据三角恒等式 $sin\theta$ 等于对边除以斜边，换句话说，w的长度乘以 $sin\theta$ 等于平行四边形的高度：

平行四边形的面积是底乘以高：

另外一个值得注意的现象： v 和 w形成的这个三角形的面积正好是整个平行四边形面积的一半：

也就是该三角形的面积等于：

这些规律很不错，但是没有实用的向量积公式，所有这些规律都用处不大！

所以，我们先写出公式：

我们使用一些数字：

检查我们的答案是否算得正确，我们使用结果和向量v 和w的是否正交，正交则得零：

我们还可以使用向量积算出 v 和 w形成的平行四边形的面积。

为此，我们需要计算向量积的大小：

当你还不能写出自己满意的程序时，你就不要去睡觉。

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