前言：上节讨论了，线性变换的基本向量概念，和坐标系构建，以及线性相关的基本定义和原理。

现在开始正题，线性变换。

1 线性变换在二维空间

如果用函数的概念去理解的话，

可以把线性变换看成是一个输入输出的函数。那么用【Transformation】而不是function的原因，还是在于向量是一个特点意义的概念，例如，前面我们提到的运动（方向特性）。

上面是对一个向量考虑，如果我们考虑一个向量集，那么有应该是整个二维平面的移动，上节说了，为了方便，当考虑向量集的时候，我们只考虑Tip的位置，也就是向量的坐标点。

用网格背景的点和距离之间的变化，我们来标准这些向量点的运动情况。

1.1 线性变换的定义：

经过变换之后：

所有的直线还是直线
原点还在原来的位置

不是线性变换的例子：

下面这个虽然都是直线的缩放，但是没有等距离分布，这样对角线的连线变得弯曲了，这样也不是线性变换。

小结：从几何角度看，线性变换，需要保持网格线平行并且等距离分布。

2 线性变换的数值描述

我们知道了线性变换的定义后，怎么用呢？或者有什么用呢？如何用数值表述呢？

是的你给出一个输入的向量坐标in，通过变换得到输出的向量out.

还是用前面基础向量i,j的办法，比如，原来一个坐标为【-1,2】T的向量v,他可以认为是基础向量i,j通过简单的线性组合实现的【右图】

【现在开始变换了】

上图我们看的，【在X,Y，右手坐标系中，保持坐标原点不变】

红色的j head基本向量发生了长度变化+角度变化，变成3倍单位长度，【0,1】T->【3，0】T

而绿色的基本向量i ，也发生了长度变化+方向变化。【1,0】T-> 【1，-2】T

但是，【由于向量 V和两个基础向量i,j有一个特定的线性组合】

也就是，基础向量已经变化了，我们依旧可以表述成黄色箭头的结果出来。

代入，线性组合关系，我们得到新的v变量的坐标。

由此，我们可以推广到通用的向量：任意一想要求解的原向量x,y组，都可以通过一个由基础向量i，j变换后的矩阵相乘，得到他相应的变换坐标。

由此，一个二维的线性变换，被完整的通过基础向量的四个数字被表述了。

【案，这一点和前面提到的变更基础向量scaled的因子一致】

推而广之，

2 举例：

2.1 逆时针旋转90度：如何将整个空间进行旋转

只需要旋转，基础向量，然后把每个向量表述出来即可。

2.2 剪切

2.3 线性相关的线性变换

如果两个基础向量是线性相关的：【上节提到的线性相关的条件，就是起作用一个向量是另外一个向量缩放【scaled】来的，或者其中一个向量是另外两个向量的组成的向量空间的元素【三个元素的话】】线性变换将被约束在某一个范围，例如一条直线，或者一个平面。

小结：

线性变换是操控空间的一种手段，保持网格平行等距，同时保持原点不动，通过几个基本向量的坐标就可以表述出来。而矩阵的向量乘法，就是计算设定的线性变换，对于给定向量x,y并得到输出向量的一直途径。

所以，每一个矩阵，你可以看成是基本向量坐标点组合，也就是可以看出是空间变换的一种形式。

对后续上述概念理解有帮助。

词汇表：

1 Transformations【变换】

the idea of a linear transformation and its relation to matrices. 线性变换的概念以及他和矩阵的关系。

2 Spaced【等距离的】

Grid lines remain parallel and evenly spaced

3 lands 向量变换后的位置

4 by

2x2矩阵 = 2 by 2 Matrix

5 shear【剪切】

参考：

【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibili

3Blue1Brown:“线性代数的本质”完整笔记 - 简书 (jianshu.com)

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