漫步线性代数十三—

我们已经知道了矩阵AA的四个基本空间，它的零空间使得向量变成零向量，因为AxAx是列的组合，所以所有向量都位于列空间里。之后我们还会看到一些每秒的东西——AA将它的行空间变成列空间，在这些维度为rr的空间上矩阵是可逆的，这是矩阵AA的实际操作，还有一部分被零空间和左零空间隐藏了。

假设xx是一个nn为向量，当AA乘以xx的时候，它将向量变成了一个新的向量AxAx，对于RnR^n空间里的所有点xx都会发生这种变化，整个空间被矩阵AA变换了，图1给出了矩阵的四种变换：

图1：四种矩阵的变换

1、A=[c00c]A=\begin{bmatrix}c&0\\0&c\end{bmatrix}，它是单位矩阵乘以常数得到的，A=cIA=cI，将每个向量拉伸cc倍，整个空间被拉长或收缩。

2、A=[01−10]A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}，旋转矩阵，它将空间绕原点进行旋转，图中的例子是旋转了90度，每个点从(x,y)(x,y)变成(−y,x)(-y,x)。

3、A=[011c]A=\begin{bmatrix}0&1\\1&c\end{bmatrix}，反射矩阵，它将每个向量做关于某个镜面的反射，图中的镜面是直线y=xy=x，像(2,2)(2,2)这类点不会发生变化，像(2,−2)(2,-2)这类点翻转成(−2,2)(-2,2)。像v=(2,2)+(2,−2)=(4,0)v=(2,2)+(2,-2)=(4,0)这类点一部分变化一部分不变，Av=(2,2)+(−2,2)=(0,4)Av=(2,2)+(-2,2)=(0,4)。

反射矩阵也是置换矩阵！在代数上它非常简单，就是将(x,y)(x,y)变成(y,x)(y,x)，而在几何图像上被掩盖了。

4、A=[1000]A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}，投影矩阵，它将整个空间投影到低维子空间上(不可逆)，图中是将平面的每个向量(x,y)(x,y)变为水平轴上最近的点(x,0)(x,0)。这个轴是AA 的列空间，投影为(0,0)(0,0)的yy轴是零空间。

这些例子也可以放到三维空间里，此时矩阵将是在空间中进行缩放，沿着平面旋转或反射，将一切事物投影到二维平面上。另外知道矩阵不能做什么也是很重要，某些变化T(x)T(x)利用AxAx就做不到：

不可能移动原点，因为对于每个矩阵A0=0A0=0。
如果向量xx变成x′x'，那么2x2x肯定是2x′2x'。一般来说cxcx肯定变成cx′cx'，因为A(cx)=c(AX)A(cx)=c(AX)。
如果向量x,yx,y分别变成x′,y′x',y'，那么他们的和x+yx+y肯定变成x′+y′x'+y'，因为A(x+y)=Ax+AyA(x+y)=Ax+Ay。

矩阵乘法进行变换的时候施加这些规则，第二个规则包含第一个(c=0c=0得到A0=0A0=0)，对于第三个规则，考虑(4,0)(4,0)关于45 度直线的反射，它可以分成(2,2)+(2,−2)(2,2)+(2,-2)，而且这两部分互为反射。同样的考虑投影：先分成两部分，然后分别投影并将投影相加。这些规则应用在任何矩阵的变换上。

他们的重要性还体现在名字的：符合三条规则的变换叫做线性变换。这些规则可以总结为一个：

20、对于任意的数c,dc,d和向量x,yx,y，矩阵乘法满足线性规则：

A(cx+dy)=c(Ax)+d(Ay)(1)

\begin{equation}A(cx+dy)=c(Ax)+d(Ay)\tag1\end{equation}满足这个要求的任何变换T(x)T(x) 是一个线性变换。

任何矩阵都产生一个线性变换，那么反过来说：每一个线性变化都对应一个矩阵吗？本篇文章就是找出这个答案：是的。这是步入线性代数的基础，从性质(1) 开始引申出许多其他结论。现在我们直接从矩阵开始，看看他们如何表示线性变换。

一个变换没必要必须从RnR^n变到相同的空间RnR^n，允许将RnR^n中的向量变成不同空间RmR^m中的向量，那就是m×nm\times n矩阵所做的事！原始向量xx有nn 个元素，变换向量AxAx 有mm个元素，线性变换的规则同样满足长方形矩阵，所以他们也生成线性变换。

更进一步，线性条件(1)的操作有加法和标量乘法，但是x,yx,y 没有必要是RnR^n 的列向量，这些不是唯一的空间，根据定义，任何向量空间都存在组合cx+dycx+dy，他们可以是多项式，也可以是矩阵，也可以是函数x(t),y(t)x(t),y(t)，只要变换满足(1)，那它就是线性的。

我们举一个空间PnP_n上的例子，这些向量是次数为nn的多项式p(t)p(t)，他们看起来像p=a0+a1t+⋯+antnp=a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n，并且向量空间的维数是n+1n+1(因为有常数项)。

例1：微分运算A=d/dtA=d/dt是线性的：

Ap(t)=ddt(a0+a1t+⋯+antn)=a1+⋯+nantn−1(2)

\begin{equation} Ap(t)=\frac{d}{dt}(a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n)=a_1+\cdots+na_nt^{n-1}\tag2 \end{equation}

AA的零空间是一维的常数空间：da0/dt=0da_0/dt=0，列空间是nn 为空间Pn−1P_{n-1}；方程(2)的右边一直在空间里。零度(=1)和秩(=nn)的和是原始空间PnP_n的维数。

例2：从0到tt的积分运算也是线性的：

Ap(t)=∫t0(a0+a1t+⋯+antn)dt=a0t+⋯+ann+1tn+1(3)

\begin{equation} Ap(t)=\int_0^t(a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n)dt=a_0t+\cdots+\frac{a_n}{n+1}t_{n+1}\tag3 \end{equation}

这次没有零空间(除了零向量外)但是积分没有得到Pn+1P_{n+1} 中的所有多项式，方程(3)的右边没有常数项，可以常数多项式在左零空间里。

例3：一个确定多项式像2+3t2+3t乘以多项式是线性的：

Ap(t)=(2+3t)(a0+a1t+⋯+antn)=2a0+⋯+3antn+1

Ap(t)=(2+3t)(a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n)=2a_0+\cdots+3a_nt^{n+1}

将PnP_n变换到Pn+1P_{n+1}，除了p=0p=0外没有零空间。

在这些例子中，线性都不太难验证，有些看起来还挺有趣。是金子总会发光，这种性质有点像自生的属性，不会因为外界条件而改变。无关怎样，变换有非常重要的性质。但是许多变化都不是线性的，例如平方多项式(Ap=p2Ap=p^2)，或加一(Ap=p+1Ap=p+1)，或保持正系数(A(t−t2)=tA(t-t^2)=t)。只有线性变换才能得出矩阵。

矩阵表示变换

线性有个至关重要的结论：如果我们知道基中每个向量的AxAx，那么我们就知道整个空间中每个向量的AxAx。假设基包含nn个向量x1,…,xnx_1,\ldots,x_n，所以其他向量xx都是基向量的组合，那么线性就确定了AxAx：

如果x=c1x1+⋯+cnxn,那么Ax=c1(Ax1)+⋯+cn(Axn)(4)

\begin{equation} \text{如果}x=c_1x_1+\cdots+c_nx_n,\text{那么} Ax=c_1(Ax_1)+\cdots+c_n(Ax_n)\tag4 \end{equation}

变换确定了基向量后，根据线性就已经确定了其他向量。对于两个向量x,yx,y，根据(1)将得到(4)中的条件，对于基来说，这些向量的变换是比较自由的，但是当他们确定以后，每个向量的变换就确定了！

例4：什么样的线性变化将x1,x2x_1,x_2 变成Ax1,Ax2Ax_1,Ax_2？

x1=[10]变成Ax1=⎡⎣⎢234⎤⎦⎥;x2=[01]变成Ax2=⎡⎣⎢468⎤⎦⎥

x_1= \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} \text{变成} Ax_1= \begin{bmatrix} 2\\3\\4 \end{bmatrix}; x_2= \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} \text{变成} Ax_2= \begin{bmatrix} 4\\6\\8 \end{bmatrix}

满足条件的矩阵为：

A=⎡⎣⎢234468⎤⎦⎥

A= \begin{bmatrix} 2&4\\3&6\\4&8 \end{bmatrix}
我们从另一个基 (1,1),(2,−1)(1,1),(2,-1)开始， AA是唯一的线性变换：

A[11]=⎡⎣⎢6912⎤⎦⎥A[2−1]=⎡⎣⎢000⎤⎦⎥

A\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 6\\9\\12 \end{bmatrix} \quad A\begin{bmatrix} 2\\-1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}

加些来我们找出表示微分和积分的矩阵。首先我们必须确定一个基，对于3次多项式，很自然的选择四个基向量：

p1=1,p2=t,p3=t2,p4=t3

p_1=1,\quad p_2=t,\quad p_3=t^2,\quad p_4=t^3

基不是唯一的，但是某些选择确实必须的而且也是最方便的。这四个基向量的导数是0,1,2t,3t20,1,2t,3t^2：

d/dtAp1=0,Ap2=p1,Ap3=2p2,Ap4=3p3(5)

\begin{equation} d/dt\quad Ap_1=0,\quad Ap_2=p_1,\quad Ap_3=2p_2,\quad Ap_4=3p_3\tag5 \end{equation}

d/dtd/dt是一种运算，就像矩阵一样，但是是什么样的矩阵呢？考虑通常的四维空间，坐标向量为p1=(1,0,0,0),p2=(0,1,0,0),p3=(0,0,1,0),p4=(0,0,0,1)p_1=(1,0,0,0),p_2=(0,1,0,0),p_3=(0,0,1,0),p_4=(0,0,0,1)，由(5)确定的矩阵是：

Adiff=⎡⎣⎢⎢⎢0000100002000030⎤⎦⎥⎥⎥

A_{diff}=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0 \end{bmatrix}

Ap1Ap_1是第一列，也就是零，Ap2Ap_2是第二列，也就是p1p_1，Ap3Ap_3是2p22p_2，Ap4Ap_4是3p33p_3，零空间包含p1p_1，列空间包含p1,p2,p3p_1,p_2,p_3(立方的导数是平方)。根据线性，像p=2+t−t2−t3p=2+t-t^2-t^3的导数可以确定出来：

dpdt=Ap→⎡⎣⎢⎢⎢0000100002000030⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢21−1−1⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢1−2−30⎤⎦⎥⎥⎥→1−2t−3t2

\frac{dp}{dt}=Ap\to \begin{bmatrix} 0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\1\\-1\\-1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\\-2\\-3\\0 \end{bmatrix} \to 1-2t-3t^2

总而言之，矩阵携带了所有的信息，如果基和矩阵都是已知的，那么每个矩阵的变换就是已知的。

信息编码很容易，将一个空间变换到它本身，一个基就足够了，从一个空间到另一个空间的变换需要其他的基。

21、假设向量x1,…,xnx_1,\ldots,x_n是空间VV的一个基，向量y1,…,ymy_1,\ldots,y_m是WW的一个基，从VV到WW的线性变换TT用AA来表示，将TT应用到第jj 个基向量xjx_j得到第jj列，将T(xj)T(x_j)写成yy组合的形式为：

T(xj)=Axj=a1jy1+a2jy2+⋯+amjym(6)

\begin{equation}T(x_j)=Ax_j=a_{1j}y_1+a_{2j}y_2+\cdots+a_{mj}y_m\tag6\end{equation}

对于微分矩阵，列1来自于第一个基向量p1=1p_1=1，它的导数为0，所以列1为0，最后一列来自(d/dt)t3=3t2(d/dt)t^3=3t^2。因为3t2=0p1+0p2+3p3+0p43t^2=0p_1+0p_2+3p_3+0p_4，所以最后一列包含0,0,3,0，法则(6)一次得到矩阵的一列。

对于积分同样如此，它是从三次方到四次方，也就是V=P3V=P_3 到W=P4W=P_4，所以我们需要WW的一组基，很自然的选择是y1=1,y2=t,y3=t2,y4=t3,y5=t4y_1=1,y_2=t,y_3=t^2,y_4=t^3,y_5=t^4，也就是四次多项式。应用积分到VV 中每个基向量得：

∫t01dt=torAx1=y2,…,∫t0t3dt=14t4orAx4=14y5

\int_0^t1dt=t\quad or\quad Ax_1=y_2,\ldots,\int_0^tt^3dt=\frac{1}{4}t^4\quad or\quad Ax_4=\frac{1}{4}y_5

Aint=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢01000001200000130000014⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

A_{int}=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&\frac{1}{2}&0&0\\0&0&\frac{1}{3}&0\\0&0&0&\frac{1}{4} \end{bmatrix}

积分和微分时逆运算，或者说从微分得到的积分可以还原到原来的函数，为了用矩阵表示，我们需要将微分矩阵变为4×54\times 5:

Adiff=⎡⎣⎢⎢⎢00001000020000300004⎤⎦⎥⎥⎥AdiffAint=⎡⎣⎢⎢⎢1111⎤⎦⎥⎥⎥

A_{diff}=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&0\\0&0&2&0&0\\0&0&0&3&0\\0&0&0&0&4 \end{bmatrix} \quad A_{diff}A_{int}=\begin{bmatrix} 1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&1 \end{bmatrix}

微分是积分的左逆，长方形矩阵不可能两边同时有逆！所以反过来AintAdiff=IA_{int}A_{diff}=I是不成立的，5×55\times 5的话在第一行得到零，常数的导数为零，而AintAdiffA_{int}A_{diff}的其他行和单位矩阵一样，因为tnt^n微分后在积分还是tnt^n。

旋转矩阵Q，投影矩阵P，反射矩阵H

本部分我们介绍90度的旋转矩阵，向xx轴的投影矩阵和45度线的反射矩阵，他们的矩阵都很简单：

Q=[01−10]P=[1000]H=[0110]

Q=\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end{bmatrix} \quad P=\begin{bmatrix} 1&0\\0&0 \end{bmatrix} H=\begin{bmatrix} 0&1\\1&0 \end{bmatrix}

在x−yx-y平面上的基本线性变换都是比较简单的，但是旋转其他角度，投影到任何一条线上，沿任何线做反射也是很容是可视化的，他们依然是线性变换，原点都是固定的：A0=0A0=0，肯定能用矩阵来表示。使用自然基(1,0)T,(0,1)T(1,0)^T,(0,1)^T就可以找到这些矩阵。

1、旋转矩阵，图2所示旋转角度为θ\theta，同时也显示了对两个基向量的效果。第一个变成(cosθ,sinθ)(\cos\theta,\sin\theta)，长度为1保持不变；第二个基向量变成(−sinθ,cosθ)(-\sin\theta,\cos\theta)，根据规则(6)，这些数放到矩阵的列中(我们用c,sc,s分别表示cosθsinθ\cos\theta\sin\theta)：

QθQ_{\theta}的逆等于QθQ_{\theta}吗？是的。

QθQ−θ=[cs−sc][c−ssc]=[1001]

Q_{\theta}Q_{-\theta}=\begin{bmatrix} c&-s\\s&c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c&s\\-s&c \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}

QθQ_{\theta}的平方等于Q2θQ_{2\theta}吗？是的。

Q2θ=[cs−sc][cs−sc]=[c2−s22cs−2csc2−s2]=[cos2θsin2θ−sin2θcos2θ]

Q_{\theta}^2=\begin{bmatrix} c&-s\\s&c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c&-s\\s&c \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c^2-s^2&-2cs\\2cs&c^2-s^2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos2\theta&-\sin2\theta\\ \sin2\theta&\cos2\theta \end{bmatrix}

QθQ_{\theta}和QφQ_{\varphi}的乘积等于Qθ+φQ_{\theta+\varphi}吗？是的。

QθQφ=[cosθcosφ−sinθsinφsinθcosφ+cosθsinφ……]=[cos(θ+φ)sin(θ+φ)……]

Q_{\theta}Q_{\varphi}=\begin{bmatrix} \cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi&\ldots\\ \sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi&\ldots \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos(\theta+\varphi)&\ldots\\ \sin(\theta+\varphi)&\ldots \end{bmatrix}

最后一种情况包含前两种情况，当φ=−θ\varphi=-\theta时就是第一种情况，当φ=+θ\varphi=+\theta时就是第二种情况。这三个方程由三角恒等式确定，毫无例外所有答案都是肯定的，矩阵乘法定义的非常精确，这样的话他们的乘积就对应着变换的乘积。

22、假设A,BA,B分别是从VV到WW和从UU到VV的线性变换，他们的乘积ABAB从UU的一个向量uu开始，变成VV中的BuBu，最后是WW中的ABuABu。组合ABAB依然是线性变换(从UU到WW)，它的矩阵是矩阵A,BA,B的乘积。

对于AdiffAintA_{diff}A_{int}，这个组合变换得到单位矩阵(AintAdiffA_{int}A_{diff}将常数消灭掉了)。对于两个旋转操作，乘法的顺序无所谓，那么U=V=WU=V=W是x−yx-y平面，QθQφQ_{\theta}Q_{\varphi}和QφQθQ_{\varphi}Q_{\theta}是一样的。对于一个旋转和一个反射操作，顺序不同结果就不同。

注意：为了构建矩阵，我们需要V,WV,W的基，然后U,VU,V的基。为了跟VV保持一样的基，矩阵乘法直接从UU的基变成WW的基，如果我们知道了变换AA的矩阵(我们叫做[A][A])，那么规则22就变得非常简洁：[AB]=[A][B][AB]=[A][B]，前面讲过的乘法规则完全由这个要求确定——它肯定对应着线性变换的乘积。

图2：旋转矩阵(左)，反射矩阵(右)

2、投影矩阵，图2也给出了(1,0)(1,0)到θ\theta直线的投影，投影长度是c=cosθc=\cos\theta，注意投影点不是(c,s)(c,s)；向量长度为1，所以我们必须乘以cc。同样，(0.1)(0.1)的投影长度为ss，投影点是s(c,s)=(cs,s2)s(c,s)=(cs,s^2)，它是投影矩阵PP的第二列：

p=[c2cscss2]

p=\begin{bmatrix} c^2&cs\\cs&s^2 \end{bmatrix}

这个矩阵没有逆，因为这个变换不是可逆的。垂线上的点映射到原点上；这条线是PP的零空间。θ\theta线上的点映射到自身！对他们进行两次映射效果和一次是一样的，也就是P2=PP^2=P：

P2=[c2cscss2]2=[c2(c2+s2)cs(c2+s2)cs(c2+s2)s2(c2+s2)]=P

P^2=\begin{bmatrix} c^2&cs\\cs&s^2 \end{bmatrix}^2 =\begin{bmatrix} c^2(c^2+s^2)&cs(c^2+s^2)\\cs(c^2+s^2)&s^2(c^2+s^2) \end{bmatrix} =P

其中c2+s2=cos2θ+sin2θ=1c^2+s^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1。投影矩阵等于它自身的平方。

3、反射矩阵，图3给出了(1,0)(1,0)关于θ\theta线的反射，反射的长度等于原始长度，就像旋转操作那样——但是这里θ\theta线保持不变。垂线的方向反转了，

H=[2c2−12cs2cs2s2−1]

H=\begin{bmatrix} 2c^2-1&2cs\\2cs&2s^2-1 \end{bmatrix}

矩阵HH有一个特别的性质：H2=IH^2=I，两次反射回到原始情况。一次反射是自身的反转：H=H−1H=H^{-1}，从几何上看非常明显。反射和映射的关系式：H=2P−IH=2P-I，这意味着Hx+x=2PxHx+x=2Px——反射的加上原始的等于投影的两倍，另外这还证实了H2=IH^2=I

H2=(2P−I)2=4P2−4P+I=I,因为P2=P

H^2=(2P-I)^2=4P^2-4P+I=I,\quad \text{因为}P^2=P

图3：反射：几何和矩阵

我们需要强调一下，矩阵依赖于所选择的基。假设第一个基在θ\theta线上，第二个基向量跟它垂直：

对于投影，这个矩阵按如下方式构建：第一列就是第一个基向量(投影到自身)，第二列就是投影为零的基向量。
对于反射，第二个基向量通过反射变成第一个向量的反方向，那个反射轴就是第二列。当矩阵H,PH,P的基一样时，矩阵HH依然满足2P−I2P-I。
对于旋转，矩阵不发生变换，跟之前一样。

选择一个最好的基明显是整个问题的核心，之后我们会形式介绍这个。

当线性变换不变时，基的改变会影响到矩阵，就像矩阵AA变为S−1ASS^{-1}AS，由此可见，一个变换是由不同的矩阵表示出来，之后要将的特征值理论会导出公式S−1ASS^{-1}AS和最好的基。

漫步线性代数十三——线性变换相关推荐

漫步线性代数二——线性方程的几何形状
漫步线性代数二--线性方程的几何形状 2016年08月15日 23:10:10 会敲键盘的猩猩阅读数:1818 几何形状理解这个主题的方法是举例说明.我们以两个极其简单的方程开始,可以说大家在没有 ...
漫步线性代数二十三——行列式公式
第一个公式上篇文章已经出现了,行操作得到DD中的主元: 1.如果AA是可逆的,那么PA=LDUPA=LDU并且detP=±1\det P=\pm 1.乘积法则得出 detA=±detLdetDdetU ...
漫话线性代数：线性变换的几何解释
网购了一本书,说的是线性代数的几何解释.一口气读完,感觉这部书有些贪多了,什么细节都要弄个几何解释,不免让琐碎的细节把关键性的主题给遮掩了.所以萌生一个念头,把线性代数的核心概念和理论和语言梳理一下, ...
漫步线性代数二十四——行列式应用
本篇文章介绍四个应用:AA的逆,求解Ax=bAx=b,盒子的体积以及主元.他们都是线性代数里面非常关键的计算,而行列式给出了这些答案的公式. 1.计算A−1A^{-1}.2×22\times 2矩阵展 ...
漫步线性代数二十一——行列式引言
在一百年前,行列式不是线性代数的中心,但是数学的方向一直在变换!毕竟,仅仅一个数就能告诉我们许多矩阵的信息. 对行列式的一种理解是:它对A−1,A−1bA^{-1},A^{-1}b的每一项给出了明确的 ...
漫步线性代数十九——快速傅里叶变换（上）
傅里叶级数是无限维度上的线性代数,它里面的向量实际上是函数f(x)f(x):他们分别投影到正弦和余弦上:然后乘以傅里叶系数ak,bka_k,b_k.用ak,bka_k,b_k乘以无限的正弦和余弦序列就 ...
漫步线性代数十七——正交基和格拉姆-施密特正交化(上)
对于一个正交基,每个向量和其他所有向量垂直,坐标轴就是互相正交的.我们还可以进一步改善:每个向量除以它的长度得到单位向量,这样的话正交基变成了标准正交基: 16.如果 qTiqj={01i≠j,给出正 ...
漫步线性代数十一—— 四个基本子空间
上篇文章处理了定义而不是,我们知道基是什么,但不知道如何找到他们.现在,从一个明确描述的子空间开始,我们开始计算显式的基. 子空间能用两种方式描述.第一,我们可以给出一个生成空间的向量集合.(例如:列 ...
漫步线性代数十——线性无关，基和维数
m,nm,n没有给出线性系统实际大小的真实信息,在我们上文的例子中有三行和四列,但是第三行仅仅是前两行的组合,在消元后得到了零行,它对奇次问题Ax=0Ax=0 没有影响.第四列同样是相关的,列空间减到 ...

漫步线性代数十三——线性变换

矩阵表示变换

旋转矩阵Q，投影矩阵P，反射矩阵H

漫步线性代数十三——线性变换相关推荐

最新文章

热门文章