纳什均衡-- 硬币正反

今天看了一篇文章《如何制定一个必赢的赌博规则》，讲的是纳什均衡的问题，感觉挺有趣。于是编程实现了一下，发现这个还真是能实现。

关于纳什均衡搜一下网上有很多的资料，这里主要讲的是纳什均衡中硬币正反的问题。

硬币正反问题:

假如你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏。美女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢？这基本是废话，当然该。问题是，这个游戏公平吗？

按我们平时正常想是：两面都一样（或正或反）概率为 1/4+1/4，则其数学期望

1/4 * 3 + 1/4 * 1 = 1 ，而一正一反的数学期望也是1/2 * 2 = 1

这看起来貌似是公平的，实际则不然。问题就出在硬币是我们人为控制的，想正面就正面，想反面就反面，而上述情况只应在抛硬币的时候才成立。想一想，如果我们能控制硬币的正面和反面出现的概率，那么赢的概率是不是会提高？

每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡，一种是纯策略纳什均衡，也就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都赚得最多或亏得最少；或者是混合策略纳什均衡，而在这个游戏中，便应该采用混合策略纳什均衡。

假设我们出正面的概率是x，反面的概率是1-x，美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y。为了使利益最大化，应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等（不然在这个游戏中，对方可以改变正反面出现的概率让我们的期望收入减少），由此列出方程就是：
3x + (-2)*(1-x)=(-2) * x + 1*( 1-x )

解方程得x=3/8。

同样，美女的收益，列方程：

-3y + 2( 1-y)= 2y+ (-1) * ( 1-y)

解得y也等于3/8，而美女每次的期望收益则是 2(1-y)- 3y = 1/8元。这告诉我们，在双方都采取最优策略的情况下，平均每次美女赢1/8元。而我们则亏1/8元。也即只要美女保持出正面的概率为3/8 就赢，当然这个前提是要不能只玩几局，频数接近3/8

代码实现（比较简单应该都能看懂）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "stdafx.h"
#include <stdlib.h>#define SUM_COUNT 10000
int my[SUM_COUNT],your[SUM_COUNT];
int my_money_sum = 0,your_money_sum = 0;/*数组my ，your 模拟每次出手时两人的硬币正反面，正面为1 ，反面为 0 */void get_rand(int sum , int One_count)
{int i = 0;int count = 0;for (i =0 ;i<sum; i++){your[i] = rand()%2;my[i] = rand() % 2;if(my[i] ==1 ){count++;}if(count > One_count){my[i] = 0;}}
}
/*my_money_sum 和 your_money_sum 为双方最后的所得*/
void count_the_money(int sum)
{int i;for(i = 0; i<sum; i++){if( my[i] == your[i]) {if (my[i] == 1){your_money_sum += 3;               }if(my[i] == 0){your_money_sum +=1;}}else if( my[i] != your[i]){my_money_sum += 2;}}
}void main()
{get_rand(SUM_COUNT,SUM_COUNT /8 *3);count_the_money(SUM_COUNT);printf("my_money_sum : %d \n",my_money_sum);printf("your_money_sum : %d \n",your_money_sum);}

结果：

可以看出试验次数越多，赢的几率越高

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