条件概率、全概率公式

2024-05-13 13:15:50

条件概率

定义：
设A,B为两个事件，，且P(B)>0，则称P(A|B)=P(AB)P(B)\frac {P(AB)}{P(B)}P(B)P(AB)为事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，即P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A|B)=\frac {P(AB)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(AB)

条件概率有如下性质：
1.任意A，P(AB)≥0
2.P(Ω|B)=1
3.A1,A2,...AnA_1,A_2,...A_nA1,A2,...An两两互斥，则P(∪i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P(\overset{∞}{\underset{i=1}{∪}}A_i)=\overset{∞}{\underset{i=1}{∑}}P(A_i)P(i=1∪∞Ai)=i=1∑∞P(Ai)
4.P(∅|B)=0
5.P(A−\overset{-}{A}A−|B)=1-P(A|B)

两种计算方法：
1.定义法
P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A|B)=\frac {P(AB)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(AB)
可以通过求的P(AB)和P(B)来求得A在B条件下的概率

2.样本空间缩减法
列出A和B的样本空间，并求的A和B中共同的样本C，并计算C在B中占的比例。

注：
一般情况下，P(A|B)≥P(AB)，因为条件概率有约束条件，分母可能比1要小。

乘法定理：

设P(B)>0，有P(AB)=P(A|B)P(B)

可以在此进行推广：

三个事件 P(AB)>0 P(ABC)=P(A|BC)P(BC)=P(A|BC)P(B|C)P(C）
可以推广到n个事件：
若
P(A1,A2,...AnA_1,A_2,...A_nA1,A2,...An)>0
则有
P(A1,A2,...AnA_1,A_2,...A_nA1,A2,...An)=P(A1)P(A2∣A1)...P(An∣An−1...A1)P(A_1)P(A_2|A_1)...P(A_n|A_{n-1}...A_1)P(A1)P(A2∣A1)...P(An∣An−1...A1)

全概率公式和贝叶斯公式

划分：
定义：
设Ω，A1,A2,...AnA_1,A_2,...A_nA1,A2,...An是Ω中的一组事件，若满足：
1.Ai,AjA_i,A_jAi,Aj两两互质
2.∪i=1∞Ai\overset{∞}{\underset{i=1}{∪}}A_ii=1∪∞Ai=Ω
则称A1,A2,...AnA_1,A_2,...A_nA1,A2,...An是Ω的一组划分。

全概率公式（全局操作）（化整为零，逐个击破）（由因到果）

设B是Ω中一个事件，A1,A2,...AnA_1,A_2,...A_nA1,A2,...An是一个划分，且P(AiA_iAi)>0(i=1,2,…n)，则有
全概率公式：P(B)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)+...+P(An)P(B∣An)=∑i=1∞P(Ai)P(B∣Ai)P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n)=\overset{∞}{\underset{i=1}{∑}}P(A_i)P(B|A_i)P(B)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)+...+P(An)P(B∣An)=i=1∑∞P(Ai)P(B∣Ai)

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