后门准则(Backdoor Criterion)与前门准则(Frontdoor Criterion)

1.后门准则

定义：给定有向无环图（DAG）中一对有序变量（X，Y），如果变量集合Z（可以为空）满足：

Z中没有X的后代节点。
Z阻断了X与Y之间的每条含有指向X的路径。

满足以上两点的Z，就称Z满足关于（X，Y）的后门准则。

如果变量集合Z满足（Ｘ，Ｙ）的后门准则，那么X对Y的因果效应可以由下面的公式计算。

$P(Y=y|do(X=x)) = \sum_{z}P(Y=y|X=x, Z=z)P(Z = z)$

证明如下：

$P(Y=y|do(X=x)) = \sum_{z}P(Y=y|do(X=x),Z=z)P(Z=z|do(X=x))) \\ = \sum_{z}P(Y=y|X=x, Z=z)P(Z = z|do(X=x))\\ = \sum_{z}P(Y=y|X=x, Z=z)P(Z = z)$

一般而言，我们希望节点Z最好可以满足下面这些条件：

阻断X和Y之间的所有伪路径（即所有指向X的路径）。
保持所有X到Y的有向路径不变。
不会产生新的伪路径。（例如condition在collider或者其后代上，可能就会产生一条新的伪路径）。

下面展示一个简单的例子：

根据上述因果图，估计X对Y的因果效应。从图中可以看出，从X到Y有两条路径，第一条是X-M-Y，第二条是X-Ｗ-Ｙ。我们想要估计X对Y的因果效应，就应该要阻断第二条路径。根据上面的后门准则，我们可以发现W满足后门准则，所以我们校正Ｗ（或者说Condition在W上），就可以得到X对Y的因果效应。前提是W必须是可观测的！

如果W是不可观测的，那么对于W还可以使用后门准则吗？答案是否定的，因为我们无法观测到W，所以无法阻断X-W-Y这条路径，也就无法消除Confounding association,此时association就不是causation.

2.前门准则

定义：如果一个变量集合Z满足以下条件：

Z切断了所有X到Y的有向路径。
X到Z没有后门路径。
所有Z到Y的后门路径都被X阻断。

则称变量集合Z满足有序变量（X，Y）的前门准则。

如果Z满足变量对(X,Y)的前门准则和Positivity（即 $P(x,z)>0$ )，那么X对Y的因果效应是可识别的，且由下式计算：

$P(Y=y|do(X=x))=\sum_{z}P(Z=z|do(X=x))P(Y=y|do(z))=\sum_{z}P(z|x)\sum_{x'}P(y|x', z)P(x')$

假设我们有一个这样的因果图：

证明如下：

$P(x,m,w,y)=P(w)P(x|w)P(m|x)P(y|w,m) \\ P(w,m,y|do(x))=P(w)P(m|x)P(y|m,w)\Rightarrow \sum_{w}\sum_{m}P(w,m,y|do(x))=\sum_{w}\sum_{m}P(w)P(m|x)P(y|m,w)\\ \Rightarrow P(y|do(x)) = \sum_{m}P(m|x)\sum_{w}P(y|w,m)P(w) \\ \Rightarrow P(y|do(x)) = \sum_{m}P(m|x)\sum_{w}P(y|w,m)\sum_{x'}P(w|x')P(x') \\ \Rightarrow P(y|do(x)) = \sum_{m}P(m|x)\sum_{w}P(y|w,m)\sum_{x'}P(w|x', m)P(x') \\ \Rightarrow P(y|do(x)) = \sum_{m}P(m|x)\sum_{x'}P(x')\sum_{w}P(y|m,w,x')P(w|x',m) \\ \Rightarrow P(y|do(x)) = \sum_{m}P(m|x)\sum_{x'}P(x')\sum_{w}P(y, w|m,x')\\ \Rightarrow P(y|do(x)) = \sum_{m}P(m|x)\sum_{x'}P(x')P(y|m,x')$

对于上面的图，即使W是不可观测的，那么我们依然可以使用前门准则，估计X对于Y的因果效应。

但是有些情况，前后门准则都可能无法使用，例如下面这种情况。

因为W1和W2都是无法观测的，无论你使用前门准则还是后门准则，其T对于Y的因果效应总是无法正确估计的。对于这种情况，我们可以使用unconfounded children criterion或者do-calculus来正确估计。这两种方法就不再这里说了，感兴趣的可以自己去看看。

地址为：https://www.bradyneal.com/Introduction_to_Causal_Inference-Dec17_2020-Neal.pdf，在第六章可以看到。