动态规划算法典型应用之背包问题

问题描述：一个旅行者有一个背包，背包的大小为b，可以放入背包的物品有n种，物品j的重量和价值分别为wjw_jwj和vjv_jvj 请问怎么选择放入背包的物品以使得背包的价值最大？
有了之前投资问题的基础，我们很容易发现，背包问题也可以用动态规划算法来解决。动态规划算法的前期准备步骤主要是如何确定子问题的规模，用什么参数来确定，以及用几个参数。和投资问题的两个参数（投资前k个，投x万元）相类似，背包问题也要用两个参数，分别是选择前k个物品，背包的空间为y 这两个参数决定。我们用优化函数Fk(y)F_k(y)Fk(y)来表示只允许装前k种物品，背包总数不超过y时背包的最大价值。我们计算这个规模的问题时，分两种情况考虑，如果不选择第k个物品，只选择前k-1种物品，而背包仍然是y，也就是Fk−1(y)F_{k-1}(y)Fk−1(y) ；还有一种情况就是选择了第k个物品，那么剩下的背包空间就是y-w[k],而因为每个物品可以选择多个，所以剩下的背包空间仍然可以在前k个物品中进行选择，那么取得的最大值就是Fk(y−v[k])F_k(y-v[k])Fk(y−v[k])
所以最后的递推方程就是 Fk(y)=max{Fk−1(y),Fk(y−vk)+wk}F_k(y) = max\{F_{k-1}(y),F_k(y-v_k)+w_k\}Fk(y)=max{Fk−1(y),Fk(y−vk)+wk}
我们可以看到背包问题的递推方程在max里面的两个值都运用到了之前规模比较小的子问题，第一个Fk−1(y)F_{k-1}(y)Fk−1(y) 运用到了物品种类(k - 1)这个规模参数，而第二个Fk(y−vk)+wkF_k(y-v_k)+w_kFk(y−vk)+wk则在相同物品种类规模k下，运用了背包大小(y−vky-v_ky−vk)这个规模参数，可以说将规模小的子问题运用得淋漓尽致。而投资问题的递推方程Fk(x)=max0⩽xk⩽x{fk(xk)+Fk−1(x−xk)}F_k(x) = \underset {0\leqslant x_k \leqslant x} {max} \{f_k(x_k) + F_{k-1}(x-x_k)\}Fk(x)=0⩽xk⩽xmax{fk(xk)+Fk−1(x−xk)} 中因为max中第一个值fk(xk)f_k(x_k)fk(xk)收益函数是已知条件，虽然第二个值Fk−1(x−xk)F_{k-1}(x-x_k)Fk−1(x−xk)同时运用了项目种类(k-1)这个规模参数和投资钱数x−xkx-x_kx−xk这个规模参数，但是昨天我在写投资问题博客的时候，感知没有那么强，只注意到了Fk−1F_{k-1}Fk−1这个项目种类的规模参数，让人忽略了投资钱数这个规模参数。

以下是我根据书上的数据，写的程序

//背包问题 旅行者有一个背包，可以放入背包的物品有n种，物品j的重量和价值分别是w[j]和v[j].如果背包的最大重量限制是b，怎么样选择放入背包的物品使得背包的价值最大？
//输入 每个物品的体积和价值 和背包限制b
//输出 最大价值和具体每个物品如何选取
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;int main()
{int w[5] = {0, 2, 3, 4, 7};   //每个物品的重量w[0]弃用int v[5] = {0, 1, 3, 5, 9};   //每个物品的价值v[0]弃用int b = 10;                   //背包限制int F[5][11] = {0};           //F[k][y]表示在选择前k个物品，并且背包限重y时，取得的最大收益int tag[5][11] = {0};         //表示计算优化函数F[k][y]所用到的物品的最大标号for (int i = 1; i <= 10; i++) //当只取第一种物品的时候，用当前钱购买尽可能多的数量，便能取得最大收益{F[1][i] = i / w[1] * v[1];if (i / w[1] > 0)tag[1][i] = 1; //表示所选择物品的最大标号elsetag[1][i] = 0;}for (int i = 2; i <= 4; i++) //枚举选择前2个物品..前3个..前4个{for (int j = 1; j <= 10; j++) //枚举背包大小 从1到10{int tmp;if (j - w[i] < 0) //在递推过程种j-w[i]可能会产生负值，这意味着背包刺客能够承受的重量已经小于第k种物品的重量，实际上时不能装的，通过令F[i][j - w[i]]为一个很小的值，从而使 这个值在另一个优化函数比较时被淘汰，从而使得这种装法被排除tmp = -114514;elsetmp = F[i][j - w[i]];if (F[i - 1][j] > (tmp + v[i])) //比较选择第i个物品或者不选择第i个物品哪个价值更大{F[i][j] = F[i - 1][j];tag[i][j] = tag[i - 1][j]; //标明取得最大收益时的物品没有用到i，所以和tag[i - 1][j]的标号相同}else{F[i][j] = (F[i][j - w[i]] + v[i]);tag[i][j] = i; //最大物品编号为i}}}cout << "最大收益:" << F[4][10] << endl;int x[5] = {0}; //用来统计每个物品被选择的数量，初始都为零int space = 10; //一共有十个空间while (1){int i = tag[4][space];x[i]++;space -= w[i];if (space == 0 || i == 0)break;}for (int i = 1; i <= 4; i++)cout << "第" << i << "个物品的数量：" << x[i] << endl;return 0;
}

运行结果
我希望编程不是为了完成老师布置的题目，而是自己发自真地想要学习并掌握某个算法。

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