775.山海经

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【问题描述】

“南山之首日鹊山。其首日招摇之山，临于西海之上，多桂，多金玉。有草焉，其状如韭而青华，其名日祝余，食之不饥……又东三百里，日堂庭之山，多棪木，多白猿，多水玉，多黄金。

又东三百八十里，日猨翼之山，其中多怪兽，水多怪鱼，多白玉，多蝮虫，多怪蛇，名怪木，不可以上。……”

《山海经》是以山为纲，以海为线记载古代的河流、植物、动物及矿产等情况，而且每一条记录路线都不会有重复的山出现。某天，你的地理老师想重游《山海经》中的路线，为了简化问题，老师已经把每座山用一个整数表示他对该山的喜恶程度，他想知道第a座山到第b座山的中间某段路(i,j)(i,j)(i,j)。能使他感到最满意，即(i,j)(i,j)(i,j)这条路上所有山的喜恶度之和是(c,d)(c,d)(c,d)(a≤c≤d≤b)(a≤c≤d≤b)(a≤c≤d≤b)最大值。于是老师便向你请教，你能帮助他吗?值得注意的是，在《山海经》中，第iii座山只能到达第i+1i+1i+1座山。

【输入】

输入第1行是两个数，nnn，m" role="presentation" style="position: relative;">mmm，2≤n≤1000002≤n≤1000002≤n≤100000，1≤m≤1000001≤m≤1000001≤m≤100000，nnn表示一共有n" role="presentation" style="position: relative;">nnn座山，mmm表示老师想查询的数目。

第2行是n" role="presentation" style="position: relative;">nnn个整数，代表nnn座山的喜恶度，绝对值均小于10000" role="presentation" style="position: relative;">100001000010000。

以下mmm行每行有a" role="presentation" style="position: relative;">aaa，bbb两个数，1≤a≤j≤b≤m" role="presentation" style="position: relative;">1≤a≤j≤b≤m1≤a≤j≤b≤m1≤a≤j≤b≤m，表示第aaa座山到第b" role="presentation" style="position: relative;">bbb座山。

【输出】

一共有mmm行，每行有3个数i" role="presentation" style="position: relative;">iii，jjj，s" role="presentation" style="position: relative;">sss，表示从第iii座山到第j" role="presentation" style="position: relative;">jjj座山总的喜恶度为sss。显然，对于每个查询，有a≤i≤j≤b" role="presentation" style="position: relative;">a≤i≤j≤ba≤i≤j≤ba≤i≤j≤b，如果有多组解，则输出iii最小的，如果i" role="presentation" style="position: relative;">iii也相等，则输出jjj最小的解。

【输入样例】

5 3
5 -6 3 -1 4
1 3
1 5
5 5

【输出样例】

1 1 5
3 5 6
5 5 4

【题解】

题目大意：给定N" role="presentation" style="position: relative;">NNN个数，求[L,R][L,R][L,R]区间的最大连续子序列的左端点，右端点以及它的和。

首先考虑DP，DP可以快速求[1,R][1,R][1,R]区间的最大连续子序列，但对于[L,R][L,R][L,R]区间的情况就束手无策了。

想到区间问题有很多用线段树求，那么我们就可以用线段树来做这道题。

令f(L,R)f(L,R)f(L,R)为[L,R][L,R][L,R]区间的最大连续子序列的和，那么f(L,R)=max{f(L,mid),f(mid+1,R)}f(L,R)=max{f(L,mid),f(mid+1,R)}f(L,R)=max\{f(L,mid),f(mid+1,R)\}。

码一遍代码，发现连样例都过不去，仔细想，如果f(L,R)=f(i,j)f(L,R)=f(i,j)f(L,R)=f(i,j)且i<mid,j>midi<mid,j>midimid，那么这样没有算到。

那我们再定义SumL(L,R),SumR(L,R)SumL(L,R),SumR(L,R)Sum_L(L,R),Sum_R(L,R)，分别为从RRR往前推的最大连续子序列的和，从L" role="presentation" style="position: relative;">LLL往后推的最大连续子序列的和，因为线段树的性质，可得这段子序列的左端点≥L≥L\ge L，右端点≤R≤R\le R，那么f(L,R)=max{SumL(L,mid)+SumR(mid+1,R)},mid=L+R2f(L,R)=max{SumL(L,mid)+SumR(mid+1,R)},mid=L+R2f(L,R)=max\{Sum_L(L,mid)+Sum_R(mid+1,R)\},mid=\frac{L+R}{2}

这样就把所有情况考虑到了。

对于维护SumL(L,R)SumL(L,R)Sum_L(L,R)，
易得SumL(L,R)=max{SumL(L,mid),Sum(L,mid)+SumL(mid+1,R)}，mid=L+R2SumL(L,R)=max{SumL(L,mid),Sum(L,mid)+SumL(mid+1,R)}，mid=L+R2Sum_L(L,R)=max\{Sum_L(L,mid),Sum(L,mid)+Sum_L(mid+1,R)\}，mid=\frac{L+R}{2}
其中Sum(L,R)Sum(L,R)Sum(L,R)是LLL到R" role="presentation" style="position: relative;">RRR的子序列和。

SumR(L,R)SumR(L,R)Sum_R(L,R)同理。

又因为需要知道左右端点，再开4个量维护SumL(L,R)SumL(L,R)Sum_L(L,R)这段子序列的左端点，SumR(L,R)SumR(L,R)Sum_R(L,R)这段子序列的右端点，以及f(L,R)f(L,R)f(L,R)的左右端点即可。

那么这道题就完美解决了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct ad{//L,R表示这个节点覆盖的线段的左端点和右端点，但因为是线段树，可以快速得出L和R的值，在此就不定义了 int LSum,RL; //LSum表示从L往后，最大的连续喜恶值之和，RL表示LSum这段连续子序列的右端点 int RSum,LR; //RSum表示从R往前，最大的连续喜恶值之和，LR表示RSum这段连续子序列的左端点int Sum; //Sum为L到R的数字之和 int Max,LMax,RMax; //Max表示L到R中最大的连续喜恶值之和，LMax表示这段连续子序列的左端点，RMax表示这段连续子序列的右端点 inline void newnode(int data,int id){LSum=RSum=Sum=Max=data;RL=LR=LMax=RMax=id;}//给节点赋初值，因为只有l==R时需要赋初值，所以LSum,RSum,Sum,Max都等于A[L]，RL,LR,LMax,RMax都等于L
}T[400005];
int N,M,A[100005];
inline int read(){int Res=0,f=1;char ch=getchar();while (ch>'9'||ch<'0') f=(ch=='-')?-f:f,ch=getchar();while (ch>='0'&&ch<='9') Res=Res*10+ch-'0',ch=getchar();return Res*f;
}
inline void updata(ad &P,ad A,ad B){ //更新 P.LSum=A.LSum;P.RL=A.RL;P.RSum=B.RSum;P.LR=B.LR;P.Sum=A.Sum+B.Sum;P.Max=A.Max;P.LMax=A.LMax;P.RMax=A.RMax;if (A.Sum+B.LSum>P.LSum) P.LSum=A.Sum+B.LSum,P.RL=B.RL;if (B.Sum+A.RSum>P.RSum) P.RSum=B.Sum+A.RSum,P.LR=A.LR;if (A.RSum+B.LSum>P.Max){//题目要求有多组解输出i最小的，所以先判这一段P.Max=A.RSum+B.LSum;P.LMax=A.LR;P.RMax=B.RL;}if (B.Max>P.Max){P.Max=B.Max;P.LMax=B.LMax;P.RMax=B.RMax;}
}
inline void build(int p,int L,int R){if (L==R){T[p].newnode(A[L],L);return ;}int mid=(R+L)>>1;if (L<=mid) build(p<<1,L,mid);if (R>mid) build(p<<1|1,mid+1,R);updata(T[p],T[p<<1],T[p<<1|1]);
}
inline ad query(int p,int L,int R,int qL,int qR){ //qL,qR表示询问的L,R if (qL==L&&qR==R) return T[p];if (L==R) return T[p];int mid=(L+R)>>1;if (mid>=qR) return query(p<<1,L,mid,qL,qR); //如果 [L,mid] 区间包含 [qL,qR] 就直接跑下去 if (qL>mid) return query(p<<1|1,mid+1,R,qL,qR); //如果 [mid+1,R] 区间包含 [qL,qR] 就直接跑下去 ad Ans1=query(p<<1,L,mid,qL,mid),Ans2=query(p<<1|1,mid+1,R,mid+1,qR),Ans; //有交错区间就和普通线段树一样，刷最大的 updata(Ans,Ans1,Ans2);return Ans;
}
int main()
{freopen("hill.in","r",stdin);freopen("hill.out","w",stdout);N=read();M=read();for (int i=1;i<=N;i++) A[i]=read();build(1,1,N);for (int i=1;i<=M;i++) {int L=read(),R=read();ad Res=query(1,1,N,L,R);printf("%d %d %d\n",Res.LMax,Res.RMax,Res.Max);}return 0;
}

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